「最小」について

　私立 中央大学 2011年 第2問

座標平面上に2点A(-2,3)，B(0,1)と放物線y=x2-8x+15がある．点Pが放物線上の1≦x≦7の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．
(1)△PABがPA=PBである二等辺三角形となるときの点Pの座標を求めよ．
(2)△PABの面積が最小となるときの点Pの座標を求めよ．

　私立 大同大学 2011年 第4問

0＜a＜2，f(x)=x5-a4xとする．
(1)曲線y=f(x)(a≦x≦2)と直線x=2およびx軸で囲まれる部分の面積S(a)を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸で囲まれる2つの部分の面積の和T(a)を求めよ．
(3)S(a)+T(a)を最小にするaの値を求めよ．

　私立 大同大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)\frac{x3(x-1)2}{x2+1}=x3+px2+qx+r+\frac{s}{x2+1}をみたす定数p,q,r,sの値を求めよ．
(2)置換積分法により，x=tanθとおいて∫01\frac{dx}{x2+1}の値を求めよ．
(3)\frac{x3(x-1)2}{x2+1}≧\frac{x3(x-1)2}{k}(0≦x≦1)をみたす最小の正の定数kの値を求めよ．
(4)上の(1)，(2)，(3)の結果を使って，π＜63/20を示せ．

　私立 大同大学 2011年 第8問

次の命題①～⑥を考える．ただしa,b,xは実数とする．
①a＞bならばa-b＞1
②a＞bならばb-a＜1
③a2=b2ならばa=b
④x＞3ならばx2-x-6＞0
⑤x2-x-6＞0ならばx＞3
⑥鈍角三角形の最小の角は{45}°より小さい
(1)正しい命題の番号を書け．
(2)正しくない命題のそれぞれに対し，反例をあげよ．

　私立 千葉工業大学 2011年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)2次方程式x2-(2a+1)x-3a+1=0（aは定数）の1つの解がx=-1であるとき，a=[ア]であり，他の解はx=[イ]である．
(2)\frac{5+14i}{4+i}=[ウ]+[エ]i（ただし，i2=-1）である．
(3)(x2+3x+2)(x2-3x+2)=x4-[オ]x2+[カ]である．
(4)2n2-9n-5≦0をみたす整数nは全部で[キ]個ある．
(5)10本のくじのうち4本が当たりくじである．この中から，同時に2本のくじを引くとき，少なくとも1本は当たり・・・

　私立 産業医科大学 2011年 第2問

原点をOとする座標空間内の3点A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)に対し，A，B，Cの定める平面をπとおく．ただし，a＞0，b＞0，c＞0とする．次の問いに答えなさい．
(1)ベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOB+uベクトルOCとおく．点Pが平面π上にあって，ベクトルOPが平面πと垂直になるように，実数s,t,uの値をそれぞれa,b,cを用いて表しなさい．
(2)線分ABの中点をMとし，点QはベクトルCQ・・・

　私立 聖マリアンナ医科大学 2011年 第3問

数列{an}に対して初項a1から第n項anまでの和が，
Sn=n3-16n2+8n+20(n=1,2,3,・・・)
で表されるものとする．以下の問いに答えなさい．
(1)このときa1=[1]，a2=[2]である．また，anの値が最小となるのは第[3]項であり，そのときのanの値はan=[4]である．
(2)anの値が負となる自然数nを，小さい方から順にすべて書きなさい．

　私立 早稲田大学 2011年 第4問

公正な硬貨Xを3回投げる．「1回目に表が出る」という事象をA，「3回目に表が出る」という事象をB，「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象をCとする．このとき，
P(A∩C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]}
である．
次に，硬貨Xが必ずしも公正でなく表の出る確率がa(0＜a＜1)，裏の出る確率が1-aであるとする．この場合の確率をPaで表すとき，
\frac{Pa(A)Pa(B)Pa(C)}{Pa(A∩B∩C)}
を最小にするaの値は\frac{\sqrt{\ka・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第6問

A=(\begin{array}{cc}
1&2\
3&6
\end{array})とする．点(x,y)がxy平面上を動くとき，行列Aによる変換(\begin{array}{c}
X\
Y
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})で移される点(X,Y)はXY平面上の直線ℓ:Y=[ト]X上を動く．
次に，行列G=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})がAGA=Aを満たすとする．点(X,Y)がℓ上を動くとき，その各点で列ベクトルG(\begin{arr・・・

　公立 首都大学東京 2011年 第4問

数列{an}が次の式によって与えられているとする．
an=(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)・・・(1-\frac{1}{(n+1)2})
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)n=1,2,3,4に対して，それぞれ2(n+1)anの値を求めなさい．
(2)anの一般項を推定し，推定した式がすべての自然数nに対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3)an＞1/2+\frac{100}{n2}をみたす最小のnを求め・・・