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座標平面上に2点A(-2,3),B(0,1)と放物線y=x2-8x+15がある.点Pが放物線上の1≦x≦7の範囲を動くとき,以下の問いに答えよ.
(1)△PABがPA=PBである二等辺三角形となるときの点Pの座標を求めよ.
(2)△PABの面積が最小となるときの点Pの座標を求めよ.
私立 大同大学 2011年 第4問0<a<2,f(x)=x5-a4xとする.
(1)曲線y=f(x)(a≦x≦2)と直線x=2およびx軸で囲まれる部分の面積S(a)を求めよ.
(2)曲線y=f(x)とx軸で囲まれる2つの部分の面積の和T(a)を求めよ.
(3)S(a)+T(a)を最小にするaの値を求めよ.
私立 大同大学 2011年 第5問次の問いに答えよ.
(1)\frac{x3(x-1)2}{x2+1}=x3+px2+qx+r+\frac{s}{x2+1}をみたす定数p,q,r,sの値を求めよ.
(2)置換積分法により,x=tanθとおいて∫01\frac{dx}{x2+1}の値を求めよ.
(3)\frac{x3(x-1)2}{x2+1}≧\frac{x3(x-1)2}{k}(0≦x≦1)をみたす最小の正の定数kの値を求めよ.
(4)上の(1),(2),(3)の結果を使って,π<63/20を示せ.
私立 大同大学 2011年 第8問次の命題①~⑥を考える.ただしa,b,xは実数とする.
①a>bならばa-b>1
②a>bならばb-a<1
③a2=b2ならばa=b
④x>3ならばx2-x-6>0
⑤x2-x-6>0ならばx>3
⑥鈍角三角形の最小の角は{45}°より小さい
(1)正しい命題の番号を書け.
(2)正しくない命題のそれぞれに対し,反例をあげよ.
私立 千葉工業大学 2011年 第1問次の各問に答えよ.
(1)2次方程式x2-(2a+1)x-3a+1=0(aは定数)の1つの解がx=-1であるとき,a=[ア]であり,他の解はx=[イ]である.
(2)\frac{5+14i}{4+i}=[ウ]+[エ]i(ただし,i2=-1)である.
(3)(x2+3x+2)(x2-3x+2)=x4-[オ]x2+[カ]である.
(4)2n2-9n-5≦0をみたす整数nは全部で[キ]個ある.
(5)10本のくじのうち4本が当たりくじである.この中から,同時に2本のくじを引くとき,少なくとも1本は当たり・・・
私立 産業医科大学 2011年 第2問原点をOとする座標空間内の3点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)に対し,A,B,Cの定める平面をπとおく.ただし,a>0,b>0,c>0とする.次の問いに答えなさい.
(1)ベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOB+uベクトルOCとおく.点Pが平面π上にあって,ベクトルOPが平面πと垂直になるように,実数s,t,uの値をそれぞれa,b,cを用いて表しなさい.
(2)線分ABの中点をMとし,点QはベクトルCQ・・・
私立 聖マリアンナ医科大学 2011年 第3問数列{an}に対して初項a1から第n項anまでの和が,
Sn=n3-16n2+8n+20(n=1,2,3,・・・)
で表されるものとする.以下の問いに答えなさい.
(1)このときa1=[1],a2=[2]である.また,anの値が最小となるのは第[3]項であり,そのときのanの値はan=[4]である.
(2)anの値が負となる自然数nを,小さい方から順にすべて書きなさい.
私立 早稲田大学 2011年 第4問公正な硬貨Xを3回投げる.「1回目に表が出る」という事象をA,「3回目に表が出る」という事象をB,「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象をCとする.このとき,
P(A∩C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]}
である.
次に,硬貨Xが必ずしも公正でなく表の出る確率がa(0<a<1),裏の出る確率が1-aであるとする.この場合の確率をPaで表すとき,
\frac{Pa(A)Pa(B)Pa(C)}{Pa(A∩B∩C)}
を最小にするaの値は\frac{\sqrt{\ka・・・
私立 早稲田大学 2011年 第6問A=(\begin{array}{cc}
1&2\
3&6
\end{array})とする.点(x,y)がxy平面上を動くとき,行列Aによる変換(\begin{array}{c}
X\
Y
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})で移される点(X,Y)はXY平面上の直線ℓ:Y=[ト]X上を動く.
次に,行列G=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})がAGA=Aを満たすとする.点(X,Y)がℓ上を動くとき,その各点で列ベクトルG(\begin{arr・・・
公立 首都大学東京 2011年 第4問数列{an}が次の式によって与えられているとする.
an=(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)・・・(1-\frac{1}{(n+1)2})
このとき,以下の問いに答えなさい.
(1)n=1,2,3,4に対して,それぞれ2(n+1)anの値を求めなさい.
(2)anの一般項を推定し,推定した式がすべての自然数nに対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい.
(3)an>1/2+\frac{100}{n2}をみたす最小のnを求め・・・