「最小」について

　公立 岡山県立大学 2011年 第2問

数列{an}が，a1=2/3,a_{n+1}=\frac{2-an}{3-2an}(n=1,2,3,・・・)を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)a2,a3を求めよ．
(2)一般項anを推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．
(3)a_{n+1}-an＜\frac{1}{5000}を満たす最小のnを求めよ．

　公立 県立広島大学 2011年 第2問

初項a，公比rの等比数列{an}において
a1＜a2,a1+a2+a3=42,a1a2a3=512
とする．ただし，a,rは実数である．
(1)初項aと公比rを求めよ．
(2)Sn=a1+a2+・・・+an(n=1,2,3,・・・)とするとき，Sn＞105を満たす最小のnを求めよ．ただし，log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771とする．

　公立 名古屋市立大学 2011年 第3問

ベクトルベクトルx1=(0,1,1)，ベクトルx2=(1,0,1)，ベクトルx3=(1,1,0)について，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルb1=\frac{ベクトルx1}{|ベクトルx1|}とおくとき，|ベクトルx2-sベクトルb1|を最小にする実数sの値とそのときのベクトルベクトルy2=ベクトルx2-sベクトルb1を求めよ．
(2)ベクトルb2=\frac{ベクトルy2}{|ベクトルy2|}とおくとき，|ベクトルx3-tベクトルb1-uベクトルb2|を最小にする実数t,uの値とそ・・・

　公立 奈良県立医科大学 2011年 第3問

a,bを実数とする．
(1)定積分
I(a,b)=∫_{-π}^π(1+asinx+bx)2dx
を求めよ．
(2)a,bが実数全体を動くとき，(1)の定積分I(a,b)を最小にするような実数の組(a,b)がただ一組存在することを示し，そのような(a,b)及びI(a,b)の最小値を求めよ．

　国立 一橋大学 2010年 第3問

原点をOとするxyz空間内で，x軸上の点A，xy平面上の点B，z軸上の点Cを，次をみたすように定める．
∠　OAC　=∠　OBC　=θ,∠　AOB　=2θ,　OC　=3
ただし，Aのx座標，Bのy座標，Cのz座標はいずれも正であるとする．さらに，△ABC内の点のうち，Oからの距離が最小の点をHとする．また，t=tanθとおく．
(1)線分OHの長さをtの式で表せ．
(2)Hのz座標をtの式で表せ．

　国立 京都大学 2010年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)座標平面上で，点(1,2)を通り傾きaの直線と放物線y=x2によって囲まれる部分の面積をS(a)とする．aが0≦a≦6の範囲を変化するとき，S(a)を最小にするようなaの値を求めよ．
(2)△ABCにおいて　AB　=2,　AC　=1とする．∠　BAC　の二等分線と辺BCの交点をDとする．　AD　=　BD　となるとき，△ABCの面積を求めよ．

　国立 北海道大学 2010年 第2問

A，Bそれぞれがさいころを1回ずつ投げる．
\begin{itemize}
同じ目が出たときはAの勝ちとし，異なる目が出たときには大きい目を出した方の勝ちとする．
p,qを自然数とする．Aが勝ったときは，Aが出した目の数のp倍をAの得点とする．Bが勝ったときには，Bが出した目の数にAが出した目の数のq倍を加えた合計をBの得点とする．負けた者の得点は0とする．
\end{itemize}
Aの得点の期待値をEA，Bの得点の期待値をE_・・・

　国立 北海道大学 2010年 第3問

an=\frac{1}{n(n+1)}を第n項とする数列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．
\begin{eqnarray}
&&{a1},{a2,a3,a4},{a5,a6,a7,a8,a9},・・・\nonumber\\
&&　第1群　\qquad　第2群　\qquad\qquad　第3群　\nonumber
\end{eqnarray}
kを自然数として，以下の問いに答えよ．
(1)第k群の最初の項を求めよ．
(2)第k群に含まれるすべての項の和Skを求めよ．
(3)(k2+1)Sk≦\frac・・・

　国立 岡山大学 2010年 第4問

aを正の実数とする．放物線P:y=x2上の点A(a,a2)における接線をℓ1とし，点Aを通りℓ1と直交する直線をℓ2とする．また，ℓ2と放物線Pとの交点のうちAではない方をB(b,b2)とする．さらに，点Bを通りℓ1に平行な直線をℓ3とし，ℓ3と放物線Pとの交点のうちBではない方をC(c,c2)とする．
(1)b+c=2aであることを示せ．
(2)放物線Pとℓ3で囲まれた部分の面積をSとする．Sをaを用いて表し，Sが最小になるときのSとaの値を求めよ．
\end{e・・・

　国立 静岡大学 2010年 第3問

a＞0とする．放物線C:y=a/2x2上の点P(1,a/2)を通り，Pを通る接線に直交する直線をℓ，y軸とℓとの交点をQとするとき，次の問いに答えよ．
(1)直線ℓの方程式をaを用いて表せ．
(2)線分PQ，y軸および放物線Cで囲まれる図形の面積をS1とする．S1の値を最小にするaの値を求めよ．
(3)直線ℓ，y軸，直線x=-1および放物線Cで囲まれる図形の面積をS2とする．S2=2S1となるaの値を求めよ．