「最小」について

　国立 埼玉大学 2010年 第2問

数列a1,a2,a3,・・・を次のように定める．
\begin{itemize}
a1=1とする．
an≧5/4(n+1)であれば，a_{n+1}=an-1とする．
an＜5/4(n+1)であれば，a_{n+1}=an+2とする．
\end{itemize}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)a6を求めよ．
(2)a_{4m-1}=5m(m=1,2,3,・・・)を示せ．
(3)an＞2010となる最小のnを求めよ．

　国立 埼玉大学 2010年 第4問

放物線C:y=\frac{x2}{2}を考える．0＜a＜√2を満たす定数aに対して，点(a3,\frac{3a2}{2}+1)をPで表す．
(1)点PとC上の点(t,\frac{t2}{2})との距離が最小となるtをaを用いて表せ．
(2)(1)で求めたtに対して，点(t,\frac{t2}{2})をQとおく．点QにおけるCの接線と，直線PQは直交することを示せ．
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるようにaを定めよ．

　国立 埼玉大学 2010年 第4問

平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
x=2t-t2,y=1-t2(0≦t≦1)
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線をCとおく．
(1)0＜t＜1の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻tを求めよ．
(2)(1)で求めた時刻tに対応するC上の点における接線ℓの方程式を求めよ．
(3)接線ℓと曲線Cは，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線C，接線ℓおよびy軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

　国立 広島大学 2010年 第1問

kは定数で，k＞0とする．曲線C:y=kx2(x≧0)と2つの直線ℓ:y=kx+1/k,m:y=-kx+1/kとの交点のx座標をそれぞれα,β(0＜β＜α)とするとき，次の問いに答えよ．
(1)α-βの値を求めよ．
(2)αβ,α2+β2およびα3-β3をkを用いて表せ．
(3)曲線Cと2直線ℓ,mとで囲まれた部分の面積を最小にするkの値を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．

　国立 広島大学 2010年 第3問

t＞1を満たす実数tに対して，S(t)=∫01|xex-tx|dxとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦1の範囲で，方程式xex=txを満たすxをすべて求めよ．
(2)S(t)を求めよ．
(3)S(t)を最小にするtの値を求めよ．

　国立 広島大学 2010年 第4問

nは2以上の自然数とする．袋の中に1からnまでの数字が1つずつ書かれたn個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行をA，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ4,2,4のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者がk人(k=1,2,3)である確率をPn(k)とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)勝者が3人で・・・

　国立 横浜国立大学 2010年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)0＜x＜πのとき，
sinx-xcosx＞0
を示せ．
(2)定積分
I=∫0^π|sinx-ax|dx(0＜a＜1)
を最小にするaの値を求めよ．

　国立 奈良教育大学 2010年 第2問

y=x3-mx+nがx軸と接しているとする．
(1)n2をmで表せ．
(2)m,nが自然数のときに，nが最小となるときのm,nを求めよ．

　国立 高知大学 2010年 第1問

等差数列{an}はa9=-5,a_{13}=6を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)一般項anを求めよ．
(2)anが正となる最小のnを求めよ．
(3)第1項から第n項までの和Snを求めよ．
(4)Snが正となる最小のnを求めよ．

　国立 筑波大学 2010年 第4問

点Oを原点とする座標平面上に，2点A(1,0)，B(cosθ,sinθ)(90°＜θ＜180°)をとり，以下の条件をみたす2点C，Dを考える．
ベクトルOA・ベクトルOC=1,ベクトルOA・ベクトルOD=0,ベクトルOB・ベクトルOC=0,ベクトルOB・ベクトルOD=1
また，△OABの面積をS1，△OCDの面積をS2とおく．
(1)ベクトルベクトルOC,ベクトルODの成分を求めよ．
(2)S2=2S1が成り立つとき，θとS1の値を求めよ．
(3)S=4S1+3S2を最小に・・・