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数列a1,a2,a3,・・・を次のように定める.
\begin{itemize}
a1=1とする.
an≧5/4(n+1)であれば,a_{n+1}=an-1とする.
an<5/4(n+1)であれば,a_{n+1}=an+2とする.
\end{itemize}
このとき,次の問いに答えよ.
(1)a6を求めよ.
(2)a_{4m-1}=5m(m=1,2,3,・・・)を示せ.
(3)an>2010となる最小のnを求めよ.
国立 埼玉大学 2010年 第4問放物線C:y=\frac{x2}{2}を考える.0<a<√2を満たす定数aに対して,点(a3,\frac{3a2}{2}+1)をPで表す.
(1)点PとC上の点(t,\frac{t2}{2})との距離が最小となるtをaを用いて表せ.
(2)(1)で求めたtに対して,点(t,\frac{t2}{2})をQとおく.点QにおけるCの接線と,直線PQは直交することを示せ.
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるようにaを定めよ.
国立 埼玉大学 2010年 第4問平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
x=2t-t2,y=1-t2(0≦t≦1)
で与えられている.このとき,点Pの描く曲線をCとおく.
(1)0<t<1の範囲で,点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻tを求めよ.
(2)(1)で求めた時刻tに対応するC上の点における接線ℓの方程式を求めよ.
(3)接線ℓと曲線Cは,接点以外に共有点を持たないことを示せ.
(4)曲線C,接線ℓおよびy軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
国立 広島大学 2010年 第1問kは定数で,k>0とする.曲線C:y=kx2(x≧0)と2つの直線ℓ:y=kx+1/k,m:y=-kx+1/kとの交点のx座標をそれぞれα,β(0<β<α)とするとき,次の問いに答えよ.
(1)α-βの値を求めよ.
(2)αβ,α2+β2およびα3-β3をkを用いて表せ.
(3)曲線Cと2直線ℓ,mとで囲まれた部分の面積を最小にするkの値を求めよ.また,そのときの面積を求めよ.
国立 広島大学 2010年 第3問t>1を満たす実数tに対して,S(t)=∫01|xex-tx|dxとおくとき,次の問いに答えよ.
(1)0≦x≦1の範囲で,方程式xex=txを満たすxをすべて求めよ.
(2)S(t)を求めよ.
(3)S(t)を最小にするtの値を求めよ.
国立 広島大学 2010年 第4問nは2以上の自然数とする.袋の中に1からnまでの数字が1つずつ書かれたn個の玉が入っている.この袋から無作為に玉を1個取り出し,それに書かれている数を自分の得点としたのち,取り出した玉を袋に戻す.この試行をA,B,Cの3人が順に行い,3人の中で最大の得点の人を勝者とする.たとえば,A,B,Cの得点がそれぞれ4,2,4のときはAとCの2人が勝者であり,3人とも同じ得点のときはA,B,Cの3人とも勝者である.勝者がk人(k=1,2,3)である確率をPn(k)とおくとき,次の問いに答えよ.
(1)勝者が3人で・・・
国立 横浜国立大学 2010年 第3問次の問いに答えよ.
(1)0<x<πのとき,
sinx-xcosx>0
を示せ.
(2)定積分
I=∫0^π|sinx-ax|dx(0<a<1)
を最小にするaの値を求めよ.
国立 奈良教育大学 2010年 第2問y=x3-mx+nがx軸と接しているとする.
(1)n2をmで表せ.
(2)m,nが自然数のときに,nが最小となるときのm,nを求めよ.
国立 高知大学 2010年 第1問等差数列{an}はa9=-5,a_{13}=6を満たすとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)一般項anを求めよ.
(2)anが正となる最小のnを求めよ.
(3)第1項から第n項までの和Snを求めよ.
(4)Snが正となる最小のnを求めよ.
国立 筑波大学 2010年 第4問点Oを原点とする座標平面上に,2点A(1,0),B(cosθ,sinθ)(90°<θ<180°)をとり,以下の条件をみたす2点C,Dを考える.
ベクトルOA・ベクトルOC=1,ベクトルOA・ベクトルOD=0,ベクトルOB・ベクトルOC=0,ベクトルOB・ベクトルOD=1
また,△OABの面積をS1,△OCDの面積をS2とおく.
(1)ベクトルベクトルOC,ベクトルODの成分を求めよ.
(2)S2=2S1が成り立つとき,θとS1の値を求めよ.
(3)S=4S1+3S2を最小に・・・