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実数aは0≦a≦4を満たす.このとき,関数f(x)=x(x-4),g(x)=a(x-4)に対して,∫04\bigl|f(x)-g(x)\bigr|dxを最小にするaの値を求めよ.
国立 和歌山大学 2010年 第4問次の問いに答えよ.
(1)∫0^{π/2}xsinxdxを求めよ.
(2)∫0^{π/2}x2cosxdxを求めよ.
(3)∫0^{π/2}(x2+acosx)2dxを最小にする実数aの値を求めよ.
国立 富山大学 2010年 第1問青球6個と赤球n個(n≧2)が入っている袋から,3個の球を同時に取り出すとき,青球が1個で赤球が2個である確率をPnとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)Pnをnの式で表せ.
(2)Pn>P_{n+1}をみたす最小のnを求めよ.
(3)Pnを最大にするnの値を求めよ.
国立 三重大学 2010年 第4問0<m<1とする.f(x)=x2,g(x)=mxとおく.このf(x)とg(x)を0≦x≦1の範囲で考える.
(1)放物線y=f(x)と直線y=g(x)および直線x=1で囲まれるふたつの図形の面積の和をS(m)とする.S(m)を最小にするmとそのときの値を求めよ.
(2)0≦x≦1の範囲での|f(x)-g(x)|の最大値をh(m)とする.h(m)を最小にするmとそのときの値を求めよ.
国立 三重大学 2010年 第5問0<m<1とする.f(x)=x2,g(x)=mxとおく.このf(x)とg(x)を0≦x≦1の範囲で考える.
(1)放物線y=f(x)と直線y=g(x)および直線x=1で囲まれるふたつの図形の面積の和をS(m)とする.S(m)を最小にするmとそのときの値を求めよ.
(2)0≦x≦1の範囲での|f(x)-g(x)|の最大値をh(m)とする.h(m)を最小にするmとそのときの値を求めよ.
国立 熊本大学 2010年 第1問原点をOとし,空間内に3点A(4,0,0),B(1,2,0),C(2,1,2)をとる.線分BCをt:(1-t)(0<t<1)に内分する点をPとおく.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)△OAPの面積を最小にするtの値を求めよ.
(2)Cを通り,3点O,A,Pを通る平面に垂直な直線とxy平面との交点をDとする.Dが△OABの内部にあるとき,tの範囲を求めよ.
国立 宮崎大学 2010年 第5問座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
&&C1:(x+1)2+(y-1)2=1\nonumber\\
&&C2:(x-1)2+(y-1)2=1\nonumber
\end{eqnarray}
がある.不等式y>2が表す領域D内に点P(a,b)をとる.点Pから円C1,C2にひいた接線とx軸との交点をそれぞれA,Bとする.ただし,下図のように△PABは円C1,C2をともに含むものとする.このとき,次の各問に答えよ.
(1)bを定数とするとき,辺ABの長さが最小となるのはa=0のときであることを示せ.
(2)点Pが領域D内を動くとき,△PABの面積・・・
国立 佐賀大学 2010年 第1問数列{an}が
a1=2,a_{n+1}=2an+2(n=1,2,3,・・・)
で定義されるとき,次の問いに答えよ.
(1)すべての自然数nに対してa_{n+1}+b=2(an+b)が成り立つような定数bを求めよ.
(2)一般項anを求めよ.
(3)\frac{a_{2n}}{an}≧10^{25}+1をみたす最小の自然数nを求めよ.ただし,log_{10}2=0.3010とする.
国立 福井大学 2010年 第4問kを実数とする.Oを原点とする座標平面上の曲線C:y=logx-kについて,Cの接線のうちOを通るものをℓ1とし,その接点をPとする.以下の問いに答えよ.
(1)ℓ1の方程式を,kを用いて表せ.
(2)点PにおけるCの法線をℓ2とし,ℓ2とx軸との交点のx座標をαとおく.αをkを用いて表せ.さらに,αが最小となるkの値およびαの最小値を求めよ.
(3)kを(2)で求めた値とするとき,Cとℓ1およびx軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
国立 福井大学 2010年 第3問kを正の整数とし,a1=k,a_{n+1}=2an+1(n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{an}を考える.以下の問いに答えよ.
(1)すべてのnに対して,a_{n+4}-anは15で割り切れることを示せ.
(2)a_{2010}が15の倍数となる最小のkを求めよ.