「最小」について

　国立 和歌山大学 2010年 第4問

実数aは0≦a≦4を満たす．このとき，関数f(x)=x(x-4),g(x)=a(x-4)に対して，∫04\bigl|f(x)-g(x)\bigr|dxを最小にするaの値を求めよ．

　国立 和歌山大学 2010年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)∫0^{π/2}xsinxdxを求めよ．
(2)∫0^{π/2}x2cosxdxを求めよ．
(3)∫0^{π/2}(x2+acosx)2dxを最小にする実数aの値を求めよ．

　国立 富山大学 2010年 第1問

青球6個と赤球n個(n≧2)が入っている袋から，3個の球を同時に取り出すとき，青球が1個で赤球が2個である確率をPnとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Pnをnの式で表せ．
(2)Pn＞P_{n+1}をみたす最小のnを求めよ．
(3)Pnを最大にするnの値を求めよ．

　国立 三重大学 2010年 第4問

0＜m＜1とする．f(x)=x2,g(x)=mxとおく．このf(x)とg(x)を0≦x≦1の範囲で考える．
(1)放物線y=f(x)と直線y=g(x)および直線x=1で囲まれるふたつの図形の面積の和をS(m)とする．S(m)を最小にするmとそのときの値を求めよ．
(2)0≦x≦1の範囲での|f(x)-g(x)|の最大値をh(m)とする．h(m)を最小にするmとそのときの値を求めよ．

　国立 三重大学 2010年 第5問

0＜m＜1とする．f(x)=x2,g(x)=mxとおく．このf(x)とg(x)を0≦x≦1の範囲で考える．
(1)放物線y=f(x)と直線y=g(x)および直線x=1で囲まれるふたつの図形の面積の和をS(m)とする．S(m)を最小にするmとそのときの値を求めよ．
(2)0≦x≦1の範囲での|f(x)-g(x)|の最大値をh(m)とする．h(m)を最小にするmとそのときの値を求めよ．

　国立 熊本大学 2010年 第1問

原点をOとし，空間内に3点A(4,0,0)，B(1,2,0)，C(2,1,2)をとる．線分BCをt:(1-t)(0＜t＜1)に内分する点をPとおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)△OAPの面積を最小にするtの値を求めよ．
(2)Cを通り，3点O，A，Pを通る平面に垂直な直線とxy平面との交点をDとする．Dが△OABの内部にあるとき，tの範囲を求めよ．

　国立 宮崎大学 2010年 第5問

座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
&&C1:(x+1)2+(y-1)2=1\nonumber\\
&&C2:(x-1)2+(y-1)2=1\nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式y＞2が表す領域D内に点P(a,b)をとる．点Pから円C1,C2にひいた接線とx軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように△PABは円C1,C2をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)bを定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのはa=0のときであることを示せ．
(2)点Pが領域D内を動くとき，△PABの面積・・・

　国立 佐賀大学 2010年 第1問

数列{an}が
a1=2,a_{n+1}=2an+2(n=1,2,3,・・・)
で定義されるとき，次の問いに答えよ．
(1)すべての自然数nに対してa_{n+1}+b=2(an+b)が成り立つような定数bを求めよ．
(2)一般項anを求めよ．
(3)\frac{a_{2n}}{an}≧10^{25}+1をみたす最小の自然数nを求めよ．ただし，log_{10}2=0.3010とする．

　国立 福井大学 2010年 第4問

kを実数とする．Oを原点とする座標平面上の曲線C:y=logx-kについて，Cの接線のうちOを通るものをℓ1とし，その接点をPとする．以下の問いに答えよ．
(1)ℓ1の方程式を，kを用いて表せ．
(2)点PにおけるCの法線をℓ2とし，ℓ2とx軸との交点のx座標をαとおく．αをkを用いて表せ．さらに，αが最小となるkの値およびαの最小値を求めよ．
(3)kを(2)で求めた値とするとき，Cとℓ1およびx軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 福井大学 2010年 第3問

kを正の整数とし，a1=k,a_{n+1}=2an+1(n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{an}を考える．以下の問いに答えよ．
(1)すべてのnに対して，a_{n+4}-anは15で割り切れることを示せ．
(2)a_{2010}が15の倍数となる最小のkを求めよ．