「最小」について

　国立 京都工芸繊維大学 2010年 第3問

関数f(t)=2(cost-sint),g(t)=cost+sintを用いて媒介変数表示された，xy平面上の曲線C:x=f(t),y=g(t)がある．点A(3/4,3/2)からC上の点P(f(t),g(t))までの距離APの2乗　AP　2をh(t)とおく．
(1)d/dth(t)=0となるtの値を0≦t≦2πの範囲ですべて求めよ．
(2)Cは楕円であることを示せ．
(3)PがC上を動くとき，APを最小にするPの座標，およびAPを最大にするPの座標を求めよ．

　国立 秋田大学 2010年 第3問

xy平面上の放物線y=x2のx≧0の部分をCとし，C上の点P(x,y)と点A(0,a)の間の距離をAPで表す．次の問いに答えよ．
(1)APをaとyを用いて表せ．
(2)PがC上を動くとき，　AP　2を最小にするPをP0とする．P0が原点Oと異なるようなaの範囲を求め，そのときのP0の座標をaを用いて表せ．
(3)(2)のP0に対して，△OP0Aの内角∠　OP　0　A　の大きさをθとするとき，tanθ=2√2となるaの値を求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第4問

△OABにおいて辺OAを1:2に内分する点をP，線分PBをs:1-sに内分する点をQとする．ただし，0＜s＜1とする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとおく．
(1)ベクトルOQをベクトルa,ベクトルb,sを用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを3:4に内分するときのsの値を求めよ．
(3)△OABを　OA　=　OB　の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときのsの値を求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第4問

△OABにおいて辺OAを1:2に内分する点をP，線分PBをs:1-sに内分する点をQとする．ただし，0＜s＜1とする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとおく．
(1)ベクトルOQをベクトルa,ベクトルb,sを用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを3:4に内分するときのsの値を求めよ．
(3)△OABを　OA　=　OB　の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときのsの値を求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第5問

座標平面における4分の1円：x2+y2≦1(x≧0,y≧0)を，原点を通りx軸の正の向きとθの角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(θ)とおく．
(1)V(0),V(π/4)の値を求めよ．
(2)0≦θ≦π/4のときV(θ)を求めよ．
(3)θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，V(θ)が最小となるθを求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第4問

△OABにおいて辺OAを1:2に内分する点をP，線分PBをs:1-sに内分する点をQとする．ただし，0＜s＜1とする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとおく．
(1)ベクトルOQをベクトルa,ベクトルb,sを用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを3:4に内分するときのsの値を求めよ．
(3)△OABを　OA　=　OB　の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときのsの値を求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第5問

座標平面における4分の1円：x2+y2≦1(x≧0,y≧0)を，原点を通りx軸の正の向きとθの角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(θ)とおく．
(1)V(0),V(π/4)の値を求めよ．
(2)0≦θ≦π/4のときV(θ)を求めよ．
(3)θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，V(θ)が最小となるθを求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第5問

座標平面における4分の1円：x2+y2≦1(x≧0,y≧0)を，原点を通りx軸の正の向きとθの角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積をV(θ)とおく．
(1)V(0),V(π/4)の値を求めよ．
(2)0≦θ≦π/4のときV(θ)を求めよ．
(3)θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，V(θ)が最小となるθを求めよ．

　国立 秋田大学 2010年 第3問

xy平面上の放物線C:y=x2-3xと，点P(1,-6)に対して，次の問いに答えよ．
(1)Pを通って放物線Cに接する直線の方程式を求めよ．
(2)放物線Cと(1)の直線との接点のうちx座標が負のものをQ，正のものをRとする．Sは直線QR上にありQと異なる点とする．Sのx座標をtとし，P，Q，Sの3点を通る円の方程式をx2+y2+lx+my+n=0とするとき，l,m,nをそれぞれtの式で表せ．
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(2)の円の半径が最小となるtの値を求めよ．

　国立 新潟大学 2010年 第2問

次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列{pn}について考える．
\mon[(ア)]p1≦p2≦・・・≦pn≦・・・である．
\mon[(イ)]p1,p2,・・・,pn,・・・はどれも自然数である．
\mon[(ウ)]p1,p2,・・・,pn,・・・の中にはすべての自然数kが現れ，その個数はk以上k+2以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数kがちょうどk個現れる数列
1,2,2,3,3,3,・・・,\uebrace{k,k,・・・,k}^{k個},・・・
を{an}・・・