「最小」について

　国立 新潟大学 2010年 第3問

次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列{pn}について考える．
\mon[(ア)]p1≦p2≦・・・≦pn≦・・・である．
\mon[(イ)]p1,p2,・・・,pn,・・・はどれも自然数である．
\mon[(ウ)]p1,p2,・・・,pn,・・・の中にはすべての自然数kが現れ，その個数はk以上k+2以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数kがちょうどk個現れる数列
1,2,2,3,3,3,・・・,\uebrace{k,k,・・・,k}^{k個},・・・
を{an}・・・

　国立 旭川医科大学 2010年 第3問

関数f(x)=sinx(-π/2≦x≦π/2)の逆関数をg(x)(-1≦t≦1)とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)-1＜x＜1のとき，g´(x)をxを用いて表せ．
(2)曲線y=sin2x(0≦x≦π)と直線y=t(0＜t＜1)の2つの交点のx座標を，それぞれα,β(α＜β)とおくとき，∫_α^βsin2xdxをtと関数gを用いて表せ．
(3)h(t)=2/π∫_α^\be・・・

　国立 小樽商科大学 2010年 第2問

aを実数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)不等式y≦x2-4ax+3a2,0≦x≦1,y≧0を満たす領域の面積Sをaを用いて表せ．
(2)面積Sを最小にするaの値を求めよ．

　国立 千葉大学 2010年 第7問

△ABCは，1辺の長さが1の正三角形で，tは正の実数とする．ベクトルb=ベクトルAB，ベクトルc=ベクトルACとおく．直線AB,AC上にそれぞれ点D,Eがあり，ベクトルAD=tベクトルb，ベクトルAE=tベクトルcをみたしている．正三角形△ADEの重心をG，線分BEの中点をMとする．
(1)内積ベクトルMC・ベクトルMGを計算せよ．
(2)tが正の実数全体を動くとき，△CGMの面積を最小にするtの値と，そのとき・・・

　国立 千葉大学 2010年 第8問

a,bは実数とする．関数f(x)は，
f(x)=asinx+bcosx+∫_{-π}^πf(t)costdt
をみたし，かつ，-π≦x≦πにおける最大値は2πである．このとき，
∫_{-π}^π{f(x)}2dx
を最小にするa,bの値と，その最小値を求めよ．

　国立 宮城教育大学 2010年 第3問

関数y=x3-3x2+3について，次の問いに答えよ．
(1)この関数のグラフに点(3,-1)から接線を引く．このとき，すべての接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた接点のうち，そのx座標が最小のものをA，最大のものをBとする．2点A,Bを通る直線の方程式を求めよ．
(3)この関数のグラフ上の点をP(s,s3-3s2+3)とする．ただし，2-√3＜s＜2+√3である．このとき，点Pと(2)で求めた直線との距離dをsで表し，dの最大値を求めよ．

　国立 鳴門教育大学 2010年 第2問

1辺の長さが1の正六角形A1A2A3A4A5A6を考える．次の問いに答えよ．
(1)A1A2A3A4A5A6の面積を求めよ．
(2)各頂点Aiから辺上に反時計回りにxだけ進んだ点をBiとする．ただし0＜x＜1とする．六角形B1B2B3B4B5B6の面積をxを使って表し，それが最小となるxおよびそのときの面積を求めよ．

　国立 東京海洋大学 2010年 第2問

1から順に自然数nを2n個ずつ並べた数列
1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,・・・,\sitabrace{n,n,・・・,n}_{2n個},・・・
を考える．
(1)第200項を求めよ．
(2)初項から第200項までの和を求めよ．
(3)初項から第k項までの和が5555以上になるような最小のkを求めよ．

　国立 東京海洋大学 2010年 第4問

Oを原点とする座標平面上で曲線C:y=x|x-k|（ただしkは正の定数）と直線ℓ:y=mxが原点以外に2点P(α,mα)，Q(β,mβ)で交わっている．ただし0＜α＜βとする．
(1)mの範囲をkで表せ．
(2)Cとℓで囲まれた2つの図形の面積の和Sをmとkで表せ．
(3)Sが最小となるときのmをkで表せ．
(4)(3)のとき，OQ/OP=√2であることを示せ．

　私立 関西大学 2010年 第2問

pを0≦p＜1を満たす定数とし，xの関数f(x)を次のように定める．
f(x)=|x+1|+|x-1|+|x-p|
以下の問いに答えよ．
(1)p=1/2として，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(2)x軸，x=-1,x=1とy=f(x)とで囲まれてできる図形の面積をSとする．Sをpを用いて表せ．
(3)Sを最小にするpの値と，そのときのSの値を求めよ．