「最小」について

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

Oを原点とする座標空間に，2点A(0,1,2)，B(1,2,0)がある．
(1)△OABの面積は\frac{\sqrt{[1][2]}}{[3]}である．
(2)点Cの位置を，位置ベクトル
ベクトルOC=2/3ベクトルOA+2/3ベクトルOB
によって定める．このとき，△ABCと△OABの面積の比は
\frac{△ABC}{△OAB}=\frac{[4]}{[5]}
である．
(3)2つのベク・・・

　私立 中央大学 2015年 第1問

正の整数nに対し
3nを5で割ったときの余りをan，
3nを7で割ったときの余りをbn
とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)a_{10}の値を求めよ．
(2)b_{20}の値を求めよ．
(3)Σ_{k=1}m(ak+bk)≧300となる最小の正の整数mを求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2015年 第4問

企業Xがn個の新製品を同時に開発しており，各新製品の開発に成功する確率は1/9である．すべての開発の結果が出た後に企業Xが存続できるための必要十分条件は，n個のうち1個以上の新製品の開発に成功していることである．ただし，各新製品の開発は独立な試行であるとする．企業Xがn個の新製品すべての開発に失敗する確率をpn，また企業Xが存続できる確率をqnとする．以下では，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771として計算せよ．
(1)pn,・・・

　私立 上智大学 2015年 第3問

aを実数とするとき，座標平面において，円C:x2+y2=20および円Ca:x2+y2+a(x+3y-10)=20を考える．
(1)どのようなaの値に対しても，Caは2点P([モ],[ヤ])，Q([ユ],[ヨ])を必ず通る．ただし，[モ]＜[ユ]とする．
(2)Caの中心の座標は(\frac{[ラ]}{[リ]}a,\frac{[ル]}{[レ]}a)であり，Caの半径をrとすると，r2=\frac{\・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

実数a,bに対して，f(x)=x2+ax+bとする．次の問いに答えよ．
(1)-1≦x≦1におけるf(x)の最大値をM，最小値をmとする．
\mon[(a)]M,mをそれぞれ以下の場合に分けてa,bを用いて表せ．
(i)a≦-2
(ii)-2＜a＜2
(iii)2≦a
\mon[(b)]M-mが最小となるようなaの値を求め，さらにそのときのM-mの値を求めよ．
(2)-1≦x≦1に・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

各辺の長さが整数であるような三角形を考え，その3辺の長さをx,y,z(x≦y≦z)とする．また，nを自然数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)z=nであるような三角形の個数をanとするとき，a5およびa6を求めよ．
(2)(1)のanをnの式で表せ．
(3)z≦nであるような三角形の個数をbnとする．
(i)bnをnの式で表せ．
(ii)bn＞2015となるような最小の自然数nを求めよ．
(4)z=nであるよう・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第2問

次の問いに答えなさい．
(1)極限値\lim_{x→∞}{(\frac{x+3}{x-3})}xを求めなさい．
(2)座標空間において，点A(1,2,0)，B(2,3,-1)をとり，2点A，Bを通る直線をℓとする．実数tが定める点P(t,-t,3t)に対して，直線ℓ上に点Qを，線分PQと直線ℓが直交するようにとる．
(i)点Qの座標をtを用いて表しなさい．
(ii)tを変化させると・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第3問

原点をOとする座標平面において点R(a,b)(a＞0,b＞0)をとる．x軸の正の部分に点Pを，y軸の正の部分に点Qを，線分PQが点Rを通るようにとる．以下，∠OPQ=θ(0＜θ＜π/2)とおく．
(1)線分PQの長さを，θおよびa,bを用いて表しなさい．
(2)線分PQの長さを最小にする角θに対して，tanθおよび線分PQの長さをa,bを用いて表しなさい．
(3)a・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)整式P(x)を(x-1)(x-4)で割ると余りは43x-35であり，(x-2)(x-3)で割ると余りは39x-55であるという．このとき，P(x)を
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に4点A(1,1)，B(1,-1)，C(-1,1)，D(-1,-1)がある．実数xが0≦x≦1の範囲にあるとき，2点P(x,0)，Q(-x,0)を考える．このとき，5本の線分の長さの和
AP+BP+PQ+CQ+DQ
が最小・・・

　私立 日本女子大学 2015年 第3問

座標平面上に点A(a3,b3)がある．ただし，a＞0，b＞0とする．点Aを通る直線ℓがx軸，y軸の正の部分と交わり，それぞれの交点をP，Qとする．直線ℓがx軸となす鋭角をθとし，線分PQの長さをf(θ)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(θ)をa,b,sinθ,cosθを用いて表せ．
(2)0＜θ＜π/2のとき，f(θ)が最小となるθの値をαとおく．tanαとf(α)・・・