「最小」について

　国立 名古屋大学 2014年 第4問

負でない整数Nが与えられたとき，a1=N，a_{n+1}=[\frac{an}{2}](n=1,2,3,・・・)として数列{an}を定める．ただし[a]は，実数aの整数部分（k≦a＜k+1となる整数k）を表す．
(1)a3=1となるようなNをすべて求めよ．
(2)0≦N＜2^{10}をみたす整数Nのうちで，Nから定まる数列{an}のある項が2となるようなものはいくつあるか．
(3)0から2^{100}-1までの2^{100}個の整数から等しい確率でNを選び，数列{an}を定める．次の・・・

　国立 岡山大学 2014年 第3問

座標平面において，行列A=(\begin{array}{cc}
1&0\
2&3
\end{array})の表す一次変換をfとする．
(1)0≦θ＜2πのとき，点P(2+cosθ,sinθ)をfで移した点Qの座標を求めよ．
(2)不等式a1≦x≦a2，b1≦y≦b2の表す領域をTとする．0≦θ＜2πを満たすすべてのθに対して，(1)で求めた点Qが領域Tに入るとする．Tの面積が最小となるときのa1,a2,b1,b2を求めよ．
(3)不等式・・・

　国立 熊本大学 2014年 第1問

空間内の1辺の長さ1の正四面体OABCにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとし，OAの中点をPとする．以下の問いに答えよ．
(1)0＜t＜1に対し，BCをt:(1-t)に内分する点をQとする．また，PM+MQが最小となるOB上の点をMとし，PN+NQが最小となるOC上の点をNとする．このとき，ベクトルOMとベクトルONを，それぞれt，ベクトルb，ベクトルcを用いて表せ．
\m・・・

　国立 信州大学 2014年 第2問

関数f(x)=∫x^{x+1}|log(2-t)|dt(0＜x＜1)について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．
(1)f(x)の導関数を求めよ．
(2)f(x)を最小にするxの値を求めよ．

　国立 旭川医科大学 2014年 第2問

0＜a≦π/2とし，曲線y=1-cosx(0≦x≦a)をCとする．0＜t＜aとし，原点とC上の点(t,1-cost)を通る直線をℓとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線Cと直線ℓとで囲まれた部分の面積をS1(t)，t≦x≦aの範囲でCとℓと直線x=aとで囲まれた部分の面積をS2(t)とおくとき，S1(t)+S2(t)を求めよ．
(2)S1(t)+S2(t)を最小とするtの値をt0とするとき，t0をaを用いて表せ．
(3)\lim・・・

　国立 宮崎大学 2014年 第2問

曲線C1:y=cosx(0≦x≦π/2)上の点(t,cost)(0＜t＜π/2)における曲線C1の接線をℓとする．また，2直線x=0，x=π/2と接線ℓとの交点をそれぞれA，Bとし，放物線C2:y=-\frac{x2}{2}+ax+cが2点A，Bを通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)2曲線C1，C2と2直線x・・・

　国立 鹿児島大学 2014年 第5問

次の各問いに答えよ．
(1)座標平面上での原点を中心とする{150}°の回転移動を表す行列をPとする．点(x,y)がPの表す移動によって，点(2,4)に移ったとする．このとき，点(x,y)を求めよ．
(2)(1)で与えられた行列Pを考える．Pn=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を満たす最小の自然数nを求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，X,Yは2次の正方行列とする．
(i)XY=Y・・・

　国立 三重大学 2014年 第5問

実数aに対して，下の4つの条件p,q,r,sを考える．ただし，実数kに対して，[k]はk以下の最大の整数を表し，\langlek\rangleはk以上の最小の整数を表すとする．たとえば，k=2.15のとき，[k]=2であり，\langlek\rangle=3である．また，|k|はkの絶対値を表す．
p:x2+4x+a2=0を満たす実数xが存在する．
q:[a]＜\langlea\rangle
r:|a-1.5|＜\frac{1}{|a-1.5|+1.5}
s:0＜a＜π，かつ，sin\lef・・・

　国立 愛知教育大学 2014年 第6問

図のような，底面の半径がr，高さがhの円錐があり，そこに半径5の球が内接しているとする．ただし，h＞10とする．以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)この円錐の底面の半径rをhを用いて表せ．
(2)この円錐の表面積を最小にするhの値を求めよ．

　国立 愛知教育大学 2014年 第9問

1≦t≦eとする．定積分S(t)=∫1e|x-t|\frac{logx}{x}dxを最小にするtの値を求めよ．ただし，logは自然対数を表し，eは自然対数の底を表す．