「最小」について

　国立 山形大学 2014年 第1問

座標平面上の点(-2,1)をA，点(a,1/4a2)をBとする．ただし，0＜a＜2とする．また，y=1/4x2で表される放物線をCとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線Cと線分ABで囲まれる部分の面積Sをaの式で表せ．
(2)直線ABが直線x=2と交わる点をDとする．放物線Cと線分BDおよび直線x=2で囲まれる部分の面積Tをaの式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列{pn},{qn}・・・

　国立 茨城大学 2014年 第2問

次の各問に答えよ．ここで，必要ならば0.301＜log_{10}2＜0.302であることを用いてもよい．
(1)k≦log_{√2}25＜k+1を満たす自然数kを求めよ．
(2)8nの桁数が26以上になる最小の自然数nを求めよ．例えば，2014の桁数は4である．

　国立 宇都宮大学 2014年 第6問

関数f(x)をf(x)=\frac{k}{x+1}-1と定める．ただし，kは正の定数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)のグラフがx軸と交わる点のx座標をkを用いて表せ．
(2)S=∫02|f(x)|dxを求めよ．
(3)(2)におけるSを最小にするkと，そのときのSの値を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第3問

放物線y=x2をC，y=-x2+2x+4をDとする．実数tを用いて表されるD上の点P(t,-t2+2t+4)におけるDの接線をℓとする．
(1)CとDが異なる2点で交わることを示し，そのx座標を求めよ．
(2)接線ℓの方程式をy=f(x)とする．f(x)を求めよ．
(3)(1)で求めた2交点のx座標をa,b(a＜b)とする．a＜t＜bを満たすtに対して，(2)で求めた接線ℓの方程式をy=f(x)とする．次の連立不等式の表す領域の面積をS(t)とする．
{\begin{array}{l}
y≧x2・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数xの関数f(x)=x3-ax2+bx+4b-2は，\lim_{x→4}\frac{f(x)}{x-2}=-5を満たす．ただし，a,bは実数とする．このとき，
(i)bをaの式で表すと，b=[1]a-[2]である．
(ii)xの値が3から6まで変化するときの関数f(x)の平均変化率が，関数f(x)のx=2+√7における微分係数に等しいとき，a=[3]，b=[4]である．
(2)実数aについての方程式
A=\・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第4問

座標空間の原点をOとし，座標空間内に4点A(1,3,3)，B(1,1,2)，C(2,3,2)，P(t,t,t)をとる．ただしtは実数である．以下の問いに答えなさい．
(1)t≠0とするとき，ベクトルAPとベクトルOPが直交するようなtの値を求めなさい．
(2)AP2+BP2+CP2が最小となるようなtの値を求めなさい．
(3)4点A，B，C，Pが1つの平面に含まれるようなtの値を求めなさい．

　私立 慶應義塾大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)∫01|x-a|(x+1)dxを最小にするaの値は
a=[18][19]+\frac{[20][21]}{[22][23]}\sqrt{[24][25]}
である．
(2)f(a)を0≦x≦1における|x-a|(x+1)の最大値とする．このときf(a)を最小にするaの値は
a=\frac{[26][27]}{[28][29]}
である．

　私立 自治医科大学 2014年 第4問

xを整数とする．log2(x+1)+4log4(x-1)＞0を満たす最小のxの値を求めよ．

　私立 自治医科大学 2014年 第15問

数列{an}は，a1=2とa_{n+1}=3an-2を満たしている（nは自然数）．Sn=Σ_{k=1}nakとする．Sn＞2014をみたす最小のnの値を求めよ．

　私立 自治医科大学 2014年 第23問

関数f(t)=∫0^π(x-tsinx)2dxとする（tは実数）．f(t)が最小となるときのtの値を求めよ．