「有理数」について

　国立 群馬大学 2014年 第4問

nを自然数とする．5832を底とするnの対数log_{5832}nが有理数であり1/2＜log_{5832}n＜1を満たすとき，nを求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2014年 第5問

次の設問に答えなさい．
(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．
(i)√5は無理数である．
(ii)r,sがともに有理数ならば，積rsは有理数である．
(iii)αが無理数で，rが0でない有理数ならば，積αrは無理数である．
\mon[\tokeishi]α,βがともに無理数ならば，積αβは無理数である．
\end・・・

　私立 早稲田大学 2014年 第2問

sinθ=4/5を満たすθ(0＜θ＜π/2)に対し，an=5nsinnθとおく（n=1,2,・・・）．次の問いに答えよ．
(1)数列{an}は，ある整数A,Bを用いて
a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ban
と表される．このとき，A,Bの値を求めよ．
(2)anは5で割ると4余る整数であることを証明せよ．
(3)θは円周率πの有理数倍ではないことを証明せよ．

　私立 立教大学 2014年 第1問

次の空欄[ア]～[コ]に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)1でない実数aに対し，f(x)=x3+ax2+x+1，g(x)=x3+x2+x+aとする．方程式f(x)=0とg(x)=0がただ1つの共通解をもつならば，a=[ア]であり，f(x)=0のすべての解は[イ]である．
(2)x＞0のとき，f(x)=e^{-√3x}sinxの最大値は[ウ]であり，最小値は[エ]である．
(3)z=1/2+\frac{√3}{2}iとするとき，z^{2014}=[オ]+[カ]iである．ただし，・・・

　国立 広島大学 2013年 第4問

座標平面上で，原点Oを中心とする半径1の円をCとし，2点P(0,1)，Q(s,0)を考える．2点P，Qを通る直線をℓとし，ℓとCの交点のうちPではないものをRとする．次の問いに答えよ．
(1)点Rの座標をsを用いて表せ．
(2)x座標とy座標がともに有理数である点を有理点という．sが有理数のとき，Rは有理点であることを示せ．

　国立 信州大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)式
1=\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}
をみたす自然数の組(a1,a2,a3)で，1≦a1≦a2≦a3となるものをすべて求めよ．
(2)rを正の有理数とする．式
r=\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}
をみたす自然数の組(a1,a2,a3)で，1≦a1≦a2≦a3となるものは有限個しかないことを証明せよ．ただし，そのような組が存在しない場合は0個とし，有限個であるとみなす．

　国立 高知大学 2013年 第3問

円x2+y2+4x+2√2y+3=0について，次の問いに答えよ．
(1)この円の中心と半径をそれぞれ求めよ．
(2)この円上の点(x,y)において，x+yのとる値の最大値と最小値を求めよ．
(3)この円上の点で座標がともに有理数となる点をすべて求めよ．

　私立 西南学院大学 2013年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)不等式x2-2x-30＜0を満たす整数xは，全部で[アイ]個ある．
(2)有理数mとnについて，(2√2+3)m+(5√2-1)n=\frac{1}{3√2-2}が成立するとき，m=\frac{[ウエ]}{[オカキ]}，n=\frac{[ク]}{[オカキ]}である．
(3)2乗して7+24iとなる複素数は，±([ケ]+[コ]i)である．

　私立 北海道薬科大学 2013年 第1問

次の各設問に答えよ．
(1)a,bが有理数であるx2+ax+b=0の一つの解が2+√3であるとき方程式
ax2-7x+2b=0
の解はx=[アイ],\frac{[ウ]}{[エ]}である．
(2)xを実数とするとx2+\frac{100}{x2+1}の最小値は[オカ]であり，そのときのxの値は[キク],[ケ]である．
(3)RISUKUの6文字をバラバラにして一列に並べるとき，KUSURIという文字になる確率は\frac{[コ]}{[サシス]}・・・

　私立 成城大学 2013年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)√5が無理数であることを証明せよ．
(2)pを0でない有理数，qを有理数とするとき，p√5+qが無理数であることを証明せよ．