「有理数」について

　国立 佐賀大学 2011年 第2問

多項式f(x)=x4-x3+cx2-11x+dについて，f(1+√2)=0が成り立つとする．ここで，c,dは有理数とする．次の問いに答えよ．
(1)S={a+√2b\;|\;a,b　は有理数　}とする．集合Sの元z=a+√2b(ただし，a,bは有理数)に対して，j(z)=a-√2bと定義する．Sの任意の元z,wに対して，j(z+w)=j(z)+j(w)およびj(zw)=j(z)j(w)が成り立つことを示せ．
(2)(1)を用いて，Sの元zがf(z)=0を満たせば，f(j(z))=0が成り立つことを示せ．このことを用いて，f(1-√2・・・

　国立 福岡教育大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)Nは自然数でN^{10}が16桁であるとする．このとき，N8は何桁になるか求めよ．
(2)αが無理数であり，a,bが有理数であるとき，
a+bα=0　ならば　a=b=0
であることを証明せよ．
(3)a,b,c,x,y,zを実数とする．
(i)(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≧(ax+by+cz)2が成り立つことを示せ．
(ii)x+y+z=1のとき，x2+y2+z2の最小値を求めよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2011年 第4問

有理数rについて，次の2つの条件を考える．
(i)1，3，7のいずれかの数pと自然数mを用いてr=\frac{p}{2m}と表される．
(ii)r＜1
条件(i),(ii)をともに満たすような有理数rの全体を大きい方から順に並べてできる数列a1,a2,a3,・・・,an,・・・を考える．
(1)a1,a2,a3,a4を求めよ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)Nを自然数とする．数列{an}の初項から・・・

　国立 鳴門教育大学 2011年 第4問

a,bを実数とするとき，次のことを示せ．
(1)a,bの少なくとも1つが無理数であるための必要十分条件は，a+b，a-bの少なくとも1つが無理数となることである．
(2)a+b,abがともに有理数であることは，a,bがともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．
(3)a+b,ab,a3-b3がすべて有理数であれば，a,bはともに有理数である．

　私立 早稲田大学 2011年 第2問

次の問に答えよ．
(1)a,bは整数で，2次方程式
x2+ax+b=0\dotnum{A}
が異なる2つの実数解α,βをもつとする．このとき，α,βはともに整数であるか，ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する．以下の問に答え，証明を完成させよ．\\
まず，b=0のときは，x2+ax=0であるから\maru{A}は整数解0,-aをもつ．以下ではb≠0とする．\\
解と係数の関係より，α+β=-a,αβ=bであり，これらは整数である．有理数と無理数・・・

　国立 岐阜大学 2010年 第5問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)に関する以下の問に答えよ．E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr)，O=\biggl(\begin{array}{cc}
0&0\\
0&0
\end{array}\biggr)とおく．
(1)A2-(a+d)A+(ad-bc)E=Oを証明せよ．
(2)a,b,c,dが有理数のとき，A3=5Eは成り立たないことを証明せよ．\sqrt[3]{5}は無理数であることを使ってよい．
(3)a,b,c,dが実数のとき，A6=-Eを満たすAのa+dとad-bcの組(a+d,ad-bc)を・・・

　国立 長崎大学 2010年 第7問

4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数k,l,mが次の条件
\mon[(イ)]kとlは1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)]kはlmの約数である
を満たすならば，kはmの約数である．
\end{screen}
(1)a,b,c,dは整数で，d≠0とする．次の方程式
x4+ax3+bx2+cx+d=0
が有理数の解rをもつとき，|r|は自然数であり，かつ|d|の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
2x4-2・・・

　国立 茨城大学 2010年 第2問

pを0＜p＜1を満たす有理数の定数とし，関数f(x)をf(x)=|x|pと定める．以下の各問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)の概形を描け．
(2)aを0でない実数の定数とするとき，点(a,f(a))における曲線y=f(x)の接線の方程式を求めよ．また，接線とx軸の交点のx座標を求めよ．
(3)数列{an}を次のように定める：a1=1とし，n≧2のときanを点(a_{n-1},f(a_{n-1}))における曲線y=f(x)の接線とx軸との交点のx座標とする．このとき一般項anをnとpを用いて表せ．
(4)(3)で求め・・・

　国立 旭川医科大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)整数を係数とするn次方程式
f(x)=a0xn+a1x^{n-1}+a2x^{n-2}+・・・+a_{n-1}x+an=0
が有理数の解β/α（αとβは互いに素な整数とする）をもつとき，αはa0の約数でありβはanの約数であることを示せ．
(2)素数pに対して，
x+y+z=p/3,xy+yz+zx=1/p,xyz=\frac{1}{p3}
を満たすx,y,zがすべて正の有理数であるとき，pおよびx,y,zを求めよ．

　私立 東北学院大学 2010年 第5問

次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例（成り立たない例）をあげよ．ただし，x,yは実数とし，nは自然数とする．
(1)xが無理数ならば，x2とx3の少なくとも一方は無理数である．
(2)x+y,xyがともに有理数ならば，x,yはともに有理数である．
(3)n2が8の倍数ならば，nは4の倍数である．