「期待値」について

　国立 琉球大学 2012年 第2問

Nを2以上の自然数とする．1からNまでの番号を1つずつ書いたN枚のカードから2枚を同時に取り出し，そのうち大きい番号をXとし，小さい番号をYとする．次の問に答えよ．
(1)iを1以上N以下の自然数とするとき，X=iとなる確率piおよびY=iとなる確率qiを求めよ．
(2)Xの期待値E1およびYの期待値E2を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問

3枚のカードに，1，2，3の各数字が書かれている．この3枚のカードから1枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業をn回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，n回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えばn=5のとき，引いた数字が順に2，2，3，3，2であれば3点を獲得し，2，1，2，2，3であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
\begin{en・・・

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問

3枚のカードに，1，2，3の各数字が書かれている．この3枚のカードから1枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業をn回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，n回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えばn=5のとき，引いた数字が順に2，2，3，3，2であれば3点を獲得し，2，1，2，2，3であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
\begin{en・・・

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問

3枚のカードに，1，2，3の各数字が書かれている．この3枚のカードから1枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業をn回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，n回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えばn=5のとき，引いた数字が順に2，2，3，3，2であれば3点を獲得し，2，1，2，2，3であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
\begin{en・・・

　国立 島根大学 2012年 第1問

直線上にn+1個の点P0，P1，P2，・・・，Pnがこの順に並んでいて，隣り合う2点間の距離
　P　0　P　1,　P　1　P　2,　P　2　P　3,・・・,　P　_{n-1}　P　n
がそれぞれ1/1,1/2,1/3,・・・,1/nとなっている．このn+1個の点から，同様の確からしさで異なる2点を選び，その距離をdとする．このとき，dの期待値を求めよ．

　国立 宇都宮大学 2012年 第1問

1からnまでの番号をつけたn枚のカードがある．次の問いに答えよ．ただし，nは自然数でn≧5とする．
(1)n=5とする．5枚のカードから同時に2枚を取り出すとき，取り出した番号の和の期待値を求めよ．
(2)nを偶数とする．n枚のカードから同時にk枚を取り出すとき，取り出した番号の積が偶数である確率をnとkを用いて表せ．ただし，2≦k≦n/2とする．
(3)nを偶数とする．n枚のカードから同時に3枚を取り出すとき，取り出した番号の和が偶数である・・・

　国立 福井大学 2012年 第1問

nを2以上の整数とし，袋の中に，白玉が5個，赤玉がn個入っているとする．この袋から2個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が白玉と赤玉1個ずつである確率をpnとし，また，取り出した白玉の数をXとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)pnを求めよ．
(2)pnが最大になるnの値と，そのときのpnの値を求めよ．
(3)Xの期待値が0.625になるとき，nの値を求めよ．

　国立 山形大学 2012年 第1問

単位円の円周を6等分する点を時計回りの順にP1，P2，P3，P4，P5，P6とする．さいころを投げて出た目iと点Piを対応させる．さいころを3回投げて出た目が全て異なる場合は対応する点を結ぶと三角形ができる．次の問に答えよ．
(1)△P1P2P5と△P1P3P5の面積をそれぞれ求めよ．
(2)さいころを3回投げて，三角形ができる確率を求めよ．
(3)さいころを3回投げて，二等辺三角形・・・

　国立 滋賀医科大学 2012年 第4問

赤色，青色，黄色の箱を各一箱，赤色，青色，黄色の球を各一個用意して，各球を球と同じ色の箱に入れる．この状態からはじめて，次の操作をn回（n≧1）行う．\\
（操作）三つの箱から二つの箱を任意に選び，その二つの箱の中の球を交換する．
(1)赤球の球が赤色の箱に入っている確率を求めよ．
(2)箱とその中の球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ．
(3)赤色の球が赤色の箱に入っている事象と，青色の球が青色の箱に入っている事象は，互いに独立かどうか，理由を付けて答えよ．

　国立 山口大学 2012年 第4問

半径1の円周上に等間隔に並んだ8個の点がある．これらの中から相異なる3個の点を同時に選び，それらを結んで三角形をつくる．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)何種類の異なる三角形がつくられるかを答えなさい．ただし，合同な三角形は同じものとみなすことにする．
(2)面積が最大の三角形がつくられる確率と，その三角形の面積を求めなさい．
(3)つくられる三角形の面積の期待値を求めなさい．