「期待値」について

　国立 千葉大学 2011年 第7問

n人（n≧3）でじゃんけんを1回行うとき，次の問いに答えよ．ただし，「あいこ」とは1種類または3種類の手が出る場合であり，勝つ人数が0の場合である．
(1)1人だけが勝つ確率を求めよ．
(2)あいこになる確率を求めよ．
(3)勝つ人数の期待値を求めよ．

　国立 福井大学 2011年 第3問

表の出る確率がp，裏の出る確率が1-pのコイン8枚と，1つの箱が用意されている．最初，箱には8枚のコインのうちの1枚が入っており，次の操作を繰り返し行う．
(操作)箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる．裏の出たコインはそのまま箱に戻す．表の出たコインはその枚数を数え，同数のコインを新たに追加して箱に戻す．
例えば，箱の中に3枚のコインがあり，それらを投げた結果，表が2枚，裏が1枚出たとすると，操作の結果，箱の中のコインは，2枚追加されて5枚になる．以下の問いに・・・

　国立 琉球大学 2011年 第3問

1から4までの番号を1つずつ書いた4枚のカードがある．この中から1枚を抜き取り，番号を記録してもとに戻す．これをn回繰り返したとき，記録されたn個の数の最大公約数をXとする．ただし，nは2以上の自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)X=3となる確率とX=4となる確率をnを用いて表せ．
(2)X=2となる確率をnを用いて表せ．
(3)Xの期待値をnを用いて表せ．

　国立 宇都宮大学 2011年 第1問

座標平面のx軸上を動く点Pとy軸上を動く点Qに対して次の操作を行う．\\
「大小2つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点Pを大きいさいころの目が奇数ならば+1，偶数ならば+2動かす
点Qを小さいさいころの目が奇数ならば+1，偶数ならば+2動かす」
\end{itemize}
点Pと点Qは原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形OPQについて，次の問いに答えよ．
(1)この操作を2回続けたとき，△OPQが二等辺三・・・

　国立 福井大学 2011年 第1問

1から6の目の出る確率がそれぞれ下の表のようになっているさいころがあるとする．このさいころの出る目の期待値が15/4であるとき，以下の問いに答えよ．
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
さいころの目&\hspace{-3.5mm}&1&2&3&4&5&6\\hline
確率&\hspace{-3.5mm}&x&y&x&x&x&y\\hline
\end{tabular}
\end{center}
(1)x,yの値を求めよ．
(2)このさいころを5回投げるとき，3回以上6の目が出る確率を求めよ．
(3)この・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

100点と書かれたカードが4枚，10点と書かれたカードが2枚入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数をkとする．このk枚のカードの合計点をSとする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)k=1,2,3,4,5となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)Sの期待値を求めよ．

　国立 宮崎大学 2011年 第3問

100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数をkとする．このk枚のカードの合計点をSとする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)k=1,2,3,4,5となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)Sの期待値を求めよ．
\end・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第3問

100点と書かれたカード，50点と書かれたカード，10点と書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ入った1つの袋の中から1枚ずつカードを取り出す．取り出したカードは袋の中にもどさないものとする．10点のカードが初めて取り出されたとき，このカードも含めて取り出されたカードの合計枚数をkとする．このk枚のカードの合計点をSとする．ただし，どのカードも取り出される確率は等しいものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)k=1,2,3,4,5となるときの確率をそれぞれ求めよ．
(2)Sの期待値を求めよ．
\end・・・

　国立 愛媛大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=x2-3x+7-3|x-2|のグラフをかけ．
(2)方程式log5x-\frac{4}{log5x}+\frac{log5x3}{log5x}=0を解け．
(3)a＞0とする．関数f(t)=t(a-t2)(0＜t＜√a)の最大値が2であるとき，aの値を求めよ．
(4)正四面体の各面に0,1,2,3の数字が1つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを2つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を・・・

　国立 愛媛大学 2011年 第2問

単位行列Eと行列A=1/4(\begin{array}{cc}
1&-√3\
-√3&-1
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)A2=pE+qAとなる実数p,qの値を求めよ．
(2)自然数nに対して，関係式
E+A+A2+・・・+A^{2n-1}+A^{2n}=xnE+ynA
をみたす実数xn,ynを，nを用いて表せ．
(3)極限値\lim_{n→∞}xn,\lim_{n→∞}ynを求めよ．
(4)実数x,yをそれぞれx=\lim_{n→∞}xn,y=\lim_{・・・