「期待値」について

　国立 宮崎大学 2010年 第2問

袋の中に1と書かれた球が3個，2と書かれた球が2個，3と書かれた球が1個，4と書かれた球が1個，合計7個入っている．この袋の中の球をよくかきまぜていくつかの球を取り出すとき，次の各問に答えよ．
(1)2個の球を取り出すとき，取り出した球の中に，1と書かれた球が少なくとも1個含まれる確率を求めよ．
(2)2個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計の期待値を求めよ．
(3)3個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計が6となる確率を求めよ．

　国立 宮崎大学 2010年 第2問

袋の中に1と書かれた球がn個，2と書かれた球が2個，3と書かれた球が1個，4と書かれた球が1個，合計n+4個入っている．ただし，nは2以上の自然数とする．この袋の中の球をよくかきまぜていくつかの球を取り出すとき，次の各問に答えよ．
(1)2個の球を取り出すとき，取り出した球の中に，1と書かれた球が少なくとも1個含まれる確率を，nを用いて表せ．
(2)2個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計の期待値を，nを用いて表せ．
(3)3個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計・・・

　国立 福井大学 2010年 第2問

表の出る確率がp，裏の出る確率が1-pのコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．
ルールa)駒はゲームを始めるとき，点Aにいる．
ルールb)駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc)k回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは2kポイント新たに獲得し，点Bにいるときは1ポイント新たに獲得する．(k=1,2,3,・・・)
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　国立 宮崎大学 2010年 第2問

袋の中に1と書かれた球がn個，2と書かれた球が2個，3と書かれた球が1個，4と書かれた球が1個，合計n+4個入っている．ただし，nは2以上の自然数とする．この袋の中の球をよくかきまぜていくつかの球を取り出すとき，次の各問に答えよ．
(1)2個の球を取り出すとき，取り出した球の中に，1と書かれた球が少なくとも1個含まれる確率を，nを用いて表せ．
(2)2個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計の期待値を，nを用いて表せ．
(3)3個の球を取り出すとき，取り出した球に書かれている数の合計・・・

　国立 福井大学 2010年 第1問

座標平面上に4点O(0,0)，A(4,0)，B(4,4)，C(0,4)をとり，正方形OABCを考える．点Bを出発点とする2つの動点P，Qが，次の規則に従って動くものとする．
1枚のコインを投げ，
表が出たときには，点Pは辺AB上を点Aの方向に1進み，点Qは動かない．
裏が出たときには，点Qは辺BC上を点Cの方向に1進み，点Pは動かない．
この試行を4回繰り返し，その結果できる三角形OPQの面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．
(1)ゲームの終了時に，点Pの・・・

　国立 熊本大学 2010年 第3問

赤球，白球，黒球，青球が各1個ずつ入っている袋が3つある．各袋から球を1個ずつ取り出す．以下の問いに答えよ．
(1)取り出した球の色が2種類となる確率を求めよ．
(2)取り出した球の色の数の期待値を求めよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2010年 第2問

nは2以上の自然数とする．1つの袋と1つの箱がある．袋には白玉3個と赤玉2個が入っており，箱には何も入っていない．次の操作を考える．
袋から玉を1個取り出し，白玉なら袋に戻し，赤玉なら箱に入れる．
この操作をn回繰り返す．n回目の操作の後，箱に入っている赤玉の個数をXとする．
(1)kをn以下の自然数とする．k回目の操作では赤玉を取り出しk回目以外のn-1回の操作では白玉を取り出す確率をnとkを用いて表せ．次に，X=1である確率pnを求めよ．
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　国立 福井大学 2010年 第2問

表の出る確率がp，裏の出る確率が1-pのコインがある．このコインを投げ，その結果により，駒が2点A，Bの間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．
ルールa)駒はゲームを始めるとき点Aにいる．
ルールb)駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．
ルールc)k回目のコイン投げの結果，駒が点Aにいるときは3kポイント新たに獲得し，点Bにいるときはkポイント新たに獲得する．(k=1,2,3,・・・)
\end・・・

　国立 防衛医科大学校 2010年 第1問

1からnまでの数字が1つずつ書かれた合計n枚のカードからランダムに1枚取り出して，書かれた数字を記録し，カードを元に戻す．この操作をk回繰り返したとき，記録されたk個の数字の最大値をXとする(例えばk=3の場合で，記録された数字が(5,1,2)，(3,5,5)あるいは(5,5,5)のとき，X=5となる)．このとき，以下の問に答えよ．
(1)n=4,k=3とすると，P(X=2)はいくらになるか．
(2)n=4,k=3としたときのXの期待値を求めよ．
(3)k=3としたときのXの期待値を，nを用いて・・・

　国立 新潟大学 2010年 第5問

座標平面上の4点をA(1,1)，B(1,2)，C(2,2)，D(2,1)とする．点Aに駒をおき，1個のさいころを投げて，出た目の数だけこれらの点の上を時計回りに駒を進める試行を考える．たとえば，出た目が5のとき，駒はA→B→C→D→A→Bと進みBに止まる．1回目の試行で止まる点をPとし，駒を点Aに戻し，2回目の試行で止まる点をQとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，Oは原点を表す．
(1)O，P，Qが同一直線上にある確率を求めよ．
(2)O，P，Qを通る2次関数y=f(x)のグラフがただ一通りに定まるとき，P，Qの位置およ・・・