「期待値」について

　国立 福島大学 2013年 第3問

表・裏の出る確率が共に1/2の硬貨が4枚ある．この4枚の硬貨を同時に投げる．以下の問いに答えよ．
(1)表の出る枚数の期待値を求めよ．
(2)表の出た枚数と裏の出た枚数が同じならば100点，4枚全てが表ならば50点，4枚全てが裏ならば30点，それ以外の場合は0点とする．このとき，得点の期待値を求めよ．

　国立 茨城大学 2013年 第2問

A，Bの2つの野球チームが戦い，先に4勝したチームを優勝とする．引き分けはないものとし，各試合でAチームがBチームに勝つ確率は3/5とする．次の各問に答えよ．
(1)Aチームが4勝1敗で優勝する確率を求めよ．
(2)Aチームが最初の2試合で負けてしまった．その後，Aチームが優勝する確率を求めよ．
(3)4試合が終わってAチームの1勝3敗になった．その後，どちらかのチームの優勝が決定するまでの残り試合数の期・・・

　国立 宇都宮大学 2013年 第1問

数直線上の動点Pはさいころを投げて偶数が出れば+1，奇数が出れば-1移動する．Pの最初の位置（座標）をP0=0とし，さいころをk回投げたときのPの位置（座標）を順にP1，P2，・・・，Pkとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)さいころを4回投げたとき，P4=2となる確率を求めよ．
(2)さいころを8回投げたとき，P8=nとなる確率をnを用いて表せ．ただし，nは-8≦n≦8をみたす整数である．
(3)さいころを4・・・

　国立 島根大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)k,lを自然数で，k＞lとする．lからkまでのk-l+1個の自然数から，同じものを繰り返し使うことを許して3個取り出して並べた数列を作る．そのうち，kとlの両方を含む数列の総数をkとlを用いて表せ．
(2)さいころを3回投げるとき，3つ出た目の最大値をM，最小値をmとし，R=M-mとする．Rの期待値を求めよ．

　国立 奈良女子大学 2013年 第5問

一辺の長さが1の正六角形ABCDEFの頂点から異なる3点を選び，これらを頂点とする三角形を作る．次の問いに答えよ．
(1)作られる三角形が正三角形となる確率を求めよ．
(2)作られる三角形の面積の期待値を求めよ．

　国立 東京農工大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)=log(x+\sqrt{x2+1})とする．ただし，対数は自然対数とする．
(i)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(ii)直線y=xと直線x=3/4および曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積Sを求めよ．
(2)α=2/5πとする．
(i)cos3α=cos2αが成り立つことを用いて，cosαとcos2αの値を求めよ．
\mon[\tok・・・

　国立 福井大学 2013年 第1問

2つのさいころを同時に投げることをくり返し，投げるのを止めた時点までの出た目の総和が得点となるゲームを行う．さいころは何回投げてもよいし，途中で投げるのを止めてもよいが，2つのさいころで同じ目が出た場合は得点は0点となり，以降さいころを投げることもできなくなる．例えば，下の得点表において，A君は2回で投げるのを止めて18点，B君は3回目で「6と6」を出してしまったので0点となる．C君は1回さいころを投げたところである．以下の問いに答えよ．
\begin{center}
\begin{tabular}{|c・・・

　国立 琉球大学 2013年 第3問

aを自然数とする．赤球3個，白球a個が入った袋から一つずつ順に取り出す操作をすべての球を取り出すまで繰り返す．ただし，取り出した球は元に戻さない．このとき，2個目の赤球が出る前までに取り出した球の数をXとする．次の問いに答えよ．
(1)a=4とする．3番目までに赤球が1個だけ出て，4番目が赤球である確率を求めよ．
(2)X=nとなる確率をpnとする．pnが最大となるnの値をaを用いて表せ．
(3)Xの期待値を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2013年 第7問

0,1,2,3,4の数字が1つずつ記入された5枚のカードがある．この5枚のカードの中から1枚引き，数字を記録して戻すという作業を3回繰り返す．ただし，3回ともどのカードを引く確率も等しいとする．記録した3つの数字の最小値をXとするとき，次の各問いに答えよ．
(1)k=0,1,2,3,4に対して確率P(X≧k)を求めよ．
(2)確率変数Xの確率分布を表で表せ．
(3)確率変数Xの平均（期待値）E(X)を求めよ．
(4)確率変数Xの分散V(X)を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2013年 第8問

確率変数Xのとる値の範囲が0≦X≦2で，その確率密度関数f(x)が次の式で与えられるものとする．
f(x)={\begin{array}{ll}
k/ax&(0≦x≦a)\
\frac{k}{2-a}(2-x)&(a＜x≦2)
\end{array}.
ここで，a,kは0＜a＜1,k＞0を満たす定数である．次の各問いに答えよ．
(1)定数kの値を求めよ．
(2)Xの平均（期待値）E(X)をaを用いて表せ．
(3)P(X≦u)=0.5となる実数uをaを用いて表せ．