「楕円」について

　国立 神戸大学 2015年 第2問

座標平面上の楕円\frac{x2}{4}+y2=1をCとする．a＞2，0＜θ＜πとし，x軸上の点A(a,0)と楕円C上の点P(2cosθ,sinθ)をとる．原点をOとし，直線APとy軸との交点をQとする．点Qを通りx軸に平行な直線と，直線OPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)(1)で求めた点Rのy座標をf(θ)とする．このとき，0＜θ＜πにおけるf(θ)の最大・・・

　国立 弘前大学 2015年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)r＞0を定数とする．点(x,y)が楕円4x2+y2=r2上を動くとき，6x+4yのとり得る値の範囲を求めよ．
(2)x,yがすべての実数値をとるとき，\frac{6x+4y+5}{4x2+y2+15}の最大値と最小値を求めよ．

　国立 愛媛大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分∫x3e^{x2}dxを求めよ．
(2)定積分∫_{1/e}e|logx|dxを求めよ．
(3)楕円\frac{x2}{4}+\frac{y2}{2}=1上の点(√2,1)における接線の方程式を求めよ．
(4)(\frac{1+√5}{2})3からその整数部分を引いた値をaとするとき，a4+5a3+4a2+4aの値を求めよ．
(5)実数a,b,cは0＜a＜b＜c，1/b=1/2(1/a・・・

　国立 群馬大学 2015年 第4問

座標平面上の楕円x2+\frac{y2}{9}=1をCとし，点P(α,β)をα＞0，β＞0を満たすC上の点とする．点PにおけるCの接線ℓとx軸，y軸との交点をそれぞれQ，Rとおく．
(1)ℓの方程式をα,βを用いて表せ．
(2)線分QRの長さの2乗をαを用いて表せ．
(3)線分QRの長さの最小値を求めよ．

　国立 群馬大学 2015年 第3問

座標平面上の楕円x2+\frac{y2}{9}=1をCとし，点P(α,β)をα＞0，β＞0を満たすC上の点とする．点PにおけるCの接線ℓとx軸，y軸との交点をそれぞれQ，Rとおく．
(1)ℓの方程式をα,βを用いて表せ．
(2)線分QRの長さの2乗をαを用いて表せ．
(3)線分QRの長さの最小値を求めよ．

　国立 福井大学 2015年 第4問

座標平面上に，2点A(-1,0)，B(1,0)と，原点を中心とする半径2の円周上の点P(2cosθ,2sinθ)をとるとき，以下の問いに答えよ．
(1)Pを通って，直線APに直交する直線ℓの方程式を求めよ．
(2)ℓに関してAと対称な点をCとし，ℓと直線BCの交点をQとおく．線分BQの長さをθを用いて表せ．
(3)θが0≦θ＜2πの範囲を動くときの点Qの軌跡は楕円であることを示し，そ・・・

　国立 和歌山大学 2015年 第5問

点P(3,2)から楕円C:\frac{x2}{3}+\frac{y2}{4}=1に2本の接線ℓ1,ℓ2を引き，それぞれの接点の座標を(a,b)，(c,d)とする．ただし，a＜cとする．次の問いに答えよ．
(1)接点の座標(a,b)，(c,d)を求めよ．
(2)Cのx≧0の部分を曲線C0とするとき，C0とℓ1およびℓ2で囲まれた部分の面積Sを求めよ．

　私立 自治医科大学 2015年 第10問

楕円C:\frac{x2}{9}+\frac{y2}{4}=1と直線L:x-2y+10=0について考える．楕円C上の点Pから直線Lに下ろした垂線と直線Lの交点をQとする．線分PQの最大値をM，最小値をmとするとき，M/mの値を求めよ．

　私立 早稲田大学 2015年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)整式P(x)を(x-1)(x-4)で割ると余りは43x-35であり，(x-2)(x-3)で割ると余りは39x-55であるという．このとき，P(x)を
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
で割ったときの余りを求めよ．
(2)座標平面に4点A(1,1)，B(1,-1)，C(-1,1)，D(-1,-1)がある．実数xが0≦x≦1の範囲にあるとき，2点P(x,0)，Q(-x,0)を考える．このとき，5本の線分の長さの和
AP+BP+PQ+CQ+DQ
が最小・・・

　私立 北里大学 2015年 第2問

kは定数とする．楕円\frac{x2}{4}+y2=1と直線x+√3=kyの共有点をP，P´とする．また楕円の2つの焦点をF(√3,0)，F´(-√3,0)とする．
(1)△PP´Fの面積をkを用いて表せ．
(2)△PP´Fの内接円の半径を最大にするkの値を求めよ．