「楕円」について

　私立 中央大学 2012年 第1問

次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を2度以上用いてもよい．
a,b,r,kはa＞b＞0，r＞0，k＞0を満たす定数とする．
座標平面の相異なる3点A，B，Cが円X2+Y2=r2の上を動くとき，△ABCの面積S1の最大値は次のようにして求められる．まず，2点B，Cを固定して点Aを動かすとき，その三角形の高さに注意すれば，面積が最大となるのは，AB=ACであ・・・

　公立 首都大学東京 2012年 第1問

楕円\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1(a＞0,b＞0)上の点P(x0,y0)(0＜x0＜a,y0＞0)における接線とx軸，y軸との交点をそれぞれA，Bとする．以下の問いに答えなさい．
(1)\frac{x02}{a2}=tとおくとき，線分ABの長さ\overline{AB}をa,b,tを用いて表しなさい．
(2)0＜x0＜aにおける\overline{AB}の最小値を求めなさい．また，そのときのPの座標を求めなさい．

　国立 筑波大学 2011年 第6問

dを正の定数とする．2点A(-d,0)，B(d,0)からの距離の和が4dである点Pの軌跡として定まる楕円Eを考える．点A，点B，原点Oから楕円E上の点Pまでの距離をそれぞれAP，BP，OPと書く．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)楕円Eの長軸と短軸の長さを求めよ．
(2)　AP　2+　BP　2および　AP　・　BP　を，OPとdを用いて表せ．
(3)点Pが楕円E全体を動くとき，　AP　3+　BP　3の最大値と最小値をdを用いて表せ．

　国立 防衛医科大学校 2011年 第3問

xyz空間の3点A(5,0,0)，B(4,1,0)，C(5,0,√2)が定める平面をT，T上にあって点Aを中心として半径√2をもつ円をUとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)点Pは円Uの周上にある．∠　PAB　=θ(0≦θ＜2π)とするとき，Pの座標(u,v,r)をθを用いて表せ．
(2)2点D(10,0,0)，Pを通る直線がyz平面と交わる点をQ(0,Y,Z)とする．YとZをθを用いて表せ．
(3)(2)のY,Zからθを消去して，Qの軌跡が楕円になる・・・

　国立 大阪教育大学 2011年 第2問

一般項がan=27/10(2/3)^{n-1}で与えられる数列{an}の，初項から第n項までの和をbnと表すとき，次の問に答えよ．
(1)数列{bn}の一般項を求めよ．
(2)楕円\frac{x2}{(43/2-bn)2}+\frac{y2}{(81/10+bn)2}=1の面積をSnで表すとき．Snが最大になる自然数nと，そのときのSnの値を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2011年 第3問

Oを原点とする座標平面上に，方程式x2+4y2=4で表される楕円Eがある．楕円Eの外部の点P(p,q)からEに引いた2本の接線をℓ1,ℓ2とする．
(1)p≠±2のとき，ℓ1,ℓ2の傾きをそれぞれk1,k2とする．k1,k2の和と積をp,qを用いて表せ．
(2)ℓ1とℓ2が垂直となるような点Pの軌跡を求めよ．
(3)長方形ABCDの各辺が楕円Eに接するとき，OAとABのなす角をθとする．長方形ABCDの面積をθを用いて表せ．
(4)(3)の長方形ABCDの面積の最大値と最・・・

　国立 福井大学 2011年 第3問

楕円C:\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1(a＞b＞0)上に2点P(0,-b)，Q(acosθ,bsinθ)をとる．ただし，0＜θ＜π/2である．QにおけるCの接線をℓとし，Pを通りℓに平行な直線とCとの交点のうちPと異なるものをRとおく．このとき以下の問いに答えよ．
(1)Rの座標を求めよ．
(2)θが0＜θ＜π/2の範囲を動くとき，△PQRの面積の最・・・

　国立 熊本大学 2011年 第3問

楕円C:x2+4y2=4と点P(2,0)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)直線y=x+bが楕円Cと異なる2つの交点をもつようなbの値の範囲を求めよ．
(2)(1)における2つの交点をA,Bとするとき，三角形PABの面積が最大となるようなbの値を求めよ．

　国立 熊本大学 2011年 第4問

楕円C:x2+4y2=1と点P(2,0)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)直線y=x+bが楕円Cと異なる2つの交点をもつようなbの値の範囲を求めよ．
(2)(1)における2つの交点をA，Bとするとき，三角形PABの面積が最大となるようなbの値を求めよ．

　国立 長崎大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)楕円\frac{x2}{3}+y2=1上の点(1,\frac{√6}{3})における接線の方程式を求めよ．
(2)θがtanθ=1/5および0＜θ＜π/4を満たすとき，tan2θとtan4θの値を求めよ．また，4θ=π/4+αとおくとき，tanαの値を求めよ．
(3)\lim_{n→∞}(\frac{n}{n2+12}+\frac{n}{n2+22}+・・・・・・