「楕円」について

　国立 山梨大学 2011年 第6問

原点を中心とする楕円Cが媒介変数tを用いて
x=2sin(t+π/3),y=2sint
と表される．ただし，tは0≦t≦2πとする．
(1)楕円C上の点P(x,y)と原点の距離をlとする．l2を媒介変数tを用いて表せ．
(2)楕円Cの長軸の長さを求めよ．また，長軸とx軸のなす角度θを求めよ．ただし，θは0≦θ≦π/2とする．
(3)楕円Cの第1象限にある部分とx軸およびy軸で囲まれた図形の面積を求・・・

　国立 山梨大学 2011年 第3問

弧度法で表されたθに対し，M(θ)=(\begin{array}{cc}
cosθ&-1/2sinθ\
2sinθ&cosθ
\end{array})とし，楕円x2+\frac{y2}{4}=1をCとする．
(1)M(θ)で表される1次変換によりC上の点はC上の点に移ることを示せ．
(2)弧度法で表されたα,βは0＜α＜π/4，0＜β＜π/4を満たしているとし，M(α)で表される1次変換により点(・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第4問

xy-平面上の原点をOとし，楕円\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1(a＞b＞0)をEとする．E上の点P(s,t)におけるEの法線とx軸との交点をQとする．点Pがs＞0,t＞0の範囲を動くとき，∠OPQが最大になる点Pを求めよ．

　公立 大阪府立大学 2011年 第3問

座標平面内において，楕円x2+\frac{y2}{3}=1のx≧0,y≧0の部分の曲線をCとする．x0＞0,y0＞0とし，曲線C上に点P(x0,y0)をとり，点Pにおける曲線Cの法線をℓとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線ℓとx軸との交点を(x1,0)とするとき，x1をx0,y0を用いて表せ．
(2)x0=cosθ,y0=√3sinθと表す．このとき，曲線Cと直線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積S(θ)をθを用いて表せ．ただし，\dis・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2011年 第6問

座標平面上の2点A(-2,0)，B(2,0)を端点とする線分ABと楕円の上半分x2+4y2=4,y≧0に4つの頂点がある台形ABCDについて，以下の問いに答えよ．ただし，点Cは第1象限，点Dは第2象限に属しているとする．
(1)点Cのx座標を2cosθ(0＜θ＜π/2)とするとき，台形ABCDの面積をθを用いて表せ．
(2)台形ABCDの面積の最大値を求めよ．また，そのときの点Cのx座標を求めよ．

　公立 京都府立大学 2011年 第4問

座標平面上の楕円C1:4x2+y2=4について，以下の問いに答えよ．
(1)C1をx軸方向にp，y軸方向に1だけ平行移動した楕円をC2とする．1≦k≦2を満たすすべてのkに対して，直線ℓ:y=kx-3とC2が2個の共有点をもつとき，pの値の範囲を求めよ．
(2)a,b,c,d,eを定数とする．C1を原点まわりに{75}°回転した2次曲線を
C3:x2+axy+by2+cx+dy+e=0
とするとき，a,bの値を求めよ．

　国立 岩手大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトルベクトルa=(-1,1),ベクトルb=(3,-2)に対して，ベクトルa+ベクトルbとベクトルa+tベクトルbが垂直になるように，実数tの値を求めよ．
(2)\lim_{x→3}\frac{\sqrt{x+k}-3}{x-3}が有限な値になるように，定数kの値を定め，その極限値を求めよ．
(3)1個のサイコロを投げて，出る目の数をaとする．このとき，楕円3x2+y2=12と直線x-y+a=0の共有点の個数の期待値を求めよ．

　国立 筑波大学 2010年 第6問

直線ℓ:mx+ny=1が，楕円C:\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1(a＞b＞0)に接しながら動くとする．
(1)点(m,n)の軌跡は楕円になることを示せ．
(2)Cの焦点F1(-\sqrt{a2-b2},0)とℓとの距離をd1とし，もう1つの焦点F2(\sqrt{a2-b2},0)とℓとの距離をd2とする．このときd1d2=b2を示せ．

　国立 東京医科歯科大学 2010年 第3問

xy平面において，次の円Cと楕円Eを考える．
\begin{eqnarray}
&&C:x2+y2=1\nonumber\\
&&E:x2+\frac{y2}{2}=1\nonumber
\end{eqnarray}
また，C上の点P(s,t)におけるCの接線をℓとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)ℓの方程式をs,tを用いて表せ．
以下，t＞0とし，Eがℓから切り取る線分の長さをLとする．
(2)Lをtを用いて表せ．
(3)Pが動くとき，Lの最大値を求めよ．
(4)Lが(3)で求めた最大値をとるとき，ℓとEが囲む領・・・

　国立 東京医科歯科大学 2010年 第3問

xy平面において，次の円Cと楕円Eを考える．
\begin{eqnarray}
&&C:x2+y2=1\nonumber\\
&&E:x2+\frac{y2}{2}=1\nonumber
\end{eqnarray}
また，C上の点P(s,t)におけるCの接線をℓとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)ℓの方程式をs,tを用いて表せ．
以下，t＞0とし，Eがℓから切り取る線分の長さをLとする．
(2)Lをtを用いて表せ．
(3)Pが動くとき，Lの最大値を求めよ．
(4)Lが(3)で求めた最大値をとるとき，ℓとEが囲む領域のうち，原点・・・