タグ「極値」の検索結果
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x＞0に対して，fn(x)=x^{1/n}logx(n=1,2,3,・・・)とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数fn(x)の極値と，極値を与えるxの値を求めよ．
(2)(1)で求めたxの値をanとするとき，x≧anの範囲における曲線y=fn(x)と直線x=anおよびx軸で囲まれた図形の面積Snを求めよ．
(3)極限\lim_{n→∞}Snを求めよ．ただし，必要があれば，\lim_{n→∞}ne^{-n}=0を用いてもよい．
国立 宇都宮大学 2012年 第4問関数f(x)=x3-3x2+2について，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減を調べ，極値を求めよ．また，グラフの概形をかけ．
(2)-a/2≦x≦aにおけるf(x)の最大値Mを求めよ．ただし，aは定数でa＞0とする．
(3)-a/2≦x≦aにおけるf(x)の最小値mを求めよ．ただし，aは定数でa＞0とする．
国立 東京学芸大学 2012年 第3問関数f(x)=(x2+αx+β)e^{-x}について，下の問いに答えよ．ただし，α,βは定数とする．
(1)f´(x)およびf^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(2)f(x)がx=1で極値をとるためのα,βの条件を求めよ．
(3)f(x)がx=1で極値をとり，さらに点(4,f(4))が曲線y=f(x)の変曲点となるようにα,βの値を定め，関数y=f(x)の極値と，その曲線の変曲点をすべて求めよ．
国立 鳥取大学 2012年 第3問2次関数f(x)=-x2+10x-16について次の問いに答えよ．
(1)f(x)=0を満たすxの値α,βを求めよ．ただしα＜βとする．
(2)関数y=f(x)のグラフとx軸とで囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(3)2次関数g(x)=px2+qxとf(x)は同じxの値で極値をとり，関数y=g(x)のグラフとx軸および2直線x=α,x=βとで囲まれた図形の面積が(2)で求めたSに等しいとする．定数p,qの値を求めよ．
国立 茨城大学 2012年 第3問aを実数の定数として，f(x)=x(x-a)2とおく．以下の各問に答えよ．
(1)関数y=f(x)の増減と極値を調べ，そのグラフをかけ．
(2)a≠0とする．曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積S(a)を求めよ．さらに，S(a)=1/3となるaの値をすべて求めよ．
国立 鳥取大学 2012年 第4問3以上の自然数nに対して
Sn=Σ_{k=3}n\frac{logk}{k}(n=3,4,5,・・・)
とおいて数列{Sn}を定める．次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{logx}{x}(x＞0)の増減と極値を調べよ．
(2)4以上の自然数nに対して不等式
Sn-\frac{log3}{3}≦∫3n\frac{logx}{x}dx≦S_{n-1}
が成り立つことを示せ．
(3)\lim_{n→∞}\frac{Sn}{(logn)2}を求めよ．
国立 長崎大学 2012年 第5問関数f(x)=xe^{-x2}について，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，\lim_{x→∞}xe^{-x2}=0,\lim_{x→-∞}xe^{-x2}=0を用いてよい．
(2)y=f(x)の最大値と最小値，およびそのときのxの値を求めよ．
(3)t＞0とする．曲線y=f(x)，x軸，および直線x=tで囲まれた部分の面積S(t)を求めよ．
(4)(3)で求めたS(t)について，\lim_{t→∞}S(t)を求めよ．
国立 浜松医科大学 2012年 第1問関数f(x)=1+sinx+sin2x(0≦x≦2π)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)x=5/12πのとき，和sinx+cosxと積sinxcosxの値をそれぞれ求めよ．
(3)次の不等式(i),(ii)がそれぞれ成り立つことを証明せよ．また，等号がいつ成立するか．それぞれ調べよ．
(i)f(x)≧sinx(1+√2+cosx)(0≦x≦π)
(ii)(sinx+cosx)\・・・
国立 東京海洋大学 2012年 第3問定数a(a≠1)に対し，f(x)=x3-(a+2)x2+(2a+1)x-aとする．
(1)方程式f(x)=0の解をaを用いて表せ．
(2)関数f(x)の極値をaを用いて表せ．
(3)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積をaを用いて表せ．
ただし，∫x3dx=\frac{x4}{4}+C（Cは積分定数）を用いてよい．
国立 東京海洋大学 2012年 第1問3次関数f(x)=-x3+3ax2+b（a,bは実数の定数）について，次の問に答えよ．
(1)a=1,b=3のとき，f(x)の極値を求め，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)0≦x≦2のときf(x)≦4となるためのa,bの条件を求めよ．
