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関数
f(t)=∫1t\frac{logx}{x+t}dx(t＞0)
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この定積分をx=tyによって置換することにより，
f(t)=logt∫_{t^{-1}}1\frac{1}{y+1}dy+∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy
を示せ．
(2)d/dt∫_{t^{-1}}1\frac{logy}{y+1}dy=-\frac{logt}{t(t+1)}を示せ．
(3)導関数f^{\prime}(t)を求めよ．
(4)関数f(t)の極値を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第1問a,bを正の実数とし，関数f(x),g(x)をそれぞれf(x)=3x-2asinxcosx,g(x)=x2+bcos2x-bとする．以下の問いに答えよ．
(1)a=3のとき，0≦x≦πにおけるf(x)の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)a=1のとき，x≧0においてf(x)≧0が成り立つことを示せ．
(3)x≧0においてf(x)≧0が成り立つようなaの範囲を求めよ．
(4)x≧0においてg(x)≧0が成り立つようなbの範囲を求めよ．
国立 群馬大学 2011年 第3問2つの関数f(x)=x2-x,g(x)=axがある．ただし，aは正の定数とする．
(1)y=f(x)の極値を求め，グラフをかけ．
(2)y=|f(x)|とy=g(x)のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 群馬大学 2011年 第3問2つの関数f(x)=x2-x,g(x)=axがある．ただし，aは正の定数とする．
(1)y=f(x)の極値を求め，グラフをかけ．
(2)y=|f(x)|とy=g(x)のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 群馬大学 2011年 第1問関数f(x)=3sinx-sin3x(0≦x≦π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)のグラフは直線x=π/2に関して対称になることを示せ．
(2)0＜x＜πのとき，f(x)の極値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)(0≦x≦π)とx軸で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 福井大学 2011年 第4問関数f(x)=(x2-4x+1)e^{-x}について，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の極値を求めよ．
(2)関数g(x)はg´(x)=f(x)を満たし，かつ，曲線y=g(x)上の点(3,g(3))における接線はx軸と点(2,0)で交わる．このときg(x)を求めよ．
(3)2曲線y=f(x)とy=g(x)の2つの交点をP，Qとするとき，曲線y=f(x)と線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2011年 第2問aを正の実数とし，実数xについての関数f(x)=(x3+ax)e^{-\frac{x2}{a}}を考える．ただし任意の自然数nに対して\lim_{t→∞}tne^{-t}=0であることを使ってよい．
(1)y=f(x)のグラフの概形を，極値および変曲点を調べて描け．
(2)g(x)=∫0xf(t)dtを求めよ．
(3)f(x)=g(x)となる実数xはいくつあるか．
国立 宮城教育大学 2011年 第4問関数f(x)=e^{3x}+e^{-3x}-12(ex+e^{-x})を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)g(x)=ex-e^{-x}とおく．関数g(x)は単調増加であることを示せ．
(2)u=g(x)とおくとき，f(x)の導関数f´(x)をuを用いて表せ．
(3)関数y=f(x)の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．
国立 九州工業大学 2011年 第4問曲線C1:y=√x|logx|と曲線C2:y=√xがある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1)関数f(x)=√xlogxの増減，極値を調べ，曲線y=f(x)の概形をかけ．ただし，\lim_{x→+0}√xlogx=0であることを用いてよい．
(2)曲線C1,C2はx＞0において2つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点のx座標をa,b(a＜b)とする．曲線C1,C2のa≦x≦bの部分が囲む図形の面積Sを求めよ．
国立 福岡教育大学 2011年 第4問nを2以上の自然数とし，xの関数f(x),g(x)を
f(x)=xnlog2x,g(x)=log2x
とする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．
(1)f(x)の極値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)の変曲点を求めよ．
(3)2つの曲線y=f(x)とy=g(x)で囲まれた図形の面積Snを求めよ．
(4)\lim_{n→∞}Snを求めよ．
