「極値」について

　国立 福岡教育大学 2011年 第5問

a,b,c,dを実数とし，xの4次関数f(x)を
f(x)=x4+2ax3+6bx2+4cx+d
とする．また，曲線y=f(x)をCとする．さらに，α=1+\sqrt{5/6},β=1-\sqrt{5/6}とおくとき，f(x)とCは次の3つの条件(i),(ii),(iii)を満たすものとする．
(i)点(α,f(α))と点(β,f(β))は共にCの変曲点である．
(ii)f(x)はx=1で極値をもつ．
(iii)f(2)=0
次の問い・・・

　国立 愛媛大学 2011年 第3問

自然数nを定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf試行}1と{\bf試行}2からなる．競技者は，はじめに{\bf試行}1を行う．
\begin{screen}
\mon[{\bf試行}1]さいころを投げ，出た目の数をXとする．Xの値に応じて次の手順に従う．
\mon[\bullet]X=1,2,3,4,5の場合
Xの値を得点として競技を終了する．
\mon[\bullet]X=6の場合
もしn=1ならば，7を得点として競技を終了する．
(★)もしn≧2ならば，{\bf試行}2に進む．
\end・・・

　国立 東京海洋大学 2011年 第1問

3次関数f(x)をf(x)=x3-4xで定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)関数f(x)の極値を求め，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)点(1,4)を通る直線とy=|f(x)|のグラフが，x＞0の範囲において2個の共有点をもつという．このような直線をすべて求めよ．ただし，直線の傾きは負とする．

　国立 東京海洋大学 2011年 第3問

aを正の定数とする．関数f(x)=x(a-x)，g(x)=x2(a-x)に対し，2つの曲線C1:y=f(x)，C2:y=g(x)を考える．以下の問いに答えよ．
ただし，∫x3dx=\frac{x4}{4}+C（Cは積分定数）を用いてよい．
(1)g(x)の極値をaを用いて表せ．
(2)0＜a≦1とする．C1とx軸で囲まれた図形の面積が，C2とx軸で囲まれた図形の面積の3倍になるとき，aの値を求めよ．
(3)a＞1とする．2曲線C1,C2で囲まれてできる2つの図形の面積が等しくなると・・・

　私立 学習院大学 2011年 第1問

a,bを実数とする．3次関数y=x3-3ax2-3bxがx=pとx=qとで極値をとるものとする．
(1)-1≦p≦0かつ1≦q≦2となるような点(a,b)の動く範囲を平面上に図示せよ．
(2)(a,b)が上の範囲を動くとき，a+bの最大値と最小値を求めよ．

　私立 関西大学 2011年 第2問

3次関数f(x)=x3+3x2-9x-2について，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)の極値を調べ，グラフをかけ．
(2)関数y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))における接線と，点(a+2,f(a+2))における接線が，平行であるようなaの値を求めよ．また，このときの点(a,f(a))における接線の方程式を求めよ．

　私立 福岡大学 2011年 第3問

f(x)=x+√2sinx(0≦x≦2π)とし，曲線y=f(x)をCとするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の極値を求めよ．
(2)曲線Cとx軸および直線x=2πで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　私立 関西学院大学 2011年 第4問

関数f(x)=x^{-2}logx(x＞0)について次の問いに答えよ．
(1)f´(x)を求めよ．
(2)f(x)の極値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)上の点(p,f(p))における接線の方程式を求めよ．また，原点を通る接線ℓの方程式を求めよ．
(4)m≠-1に対して，不定積分∫xmlogxdxを求めよ．また，曲線y=f(x)，直線ℓ，およびx軸で囲まれる部分の面積Sを求めよ．

　公立 首都大学東京 2011年 第1問

aを実数とする．関数f(x)=sinx+acos2x-1/4について，以下の問いに答えなさい．
(1)a=1とするとき，0≦x≦2πにおけるf(x)の増減と極値を調べて，y=f(x)のグラフをかきなさい．
(2)f(x)の極値をあたえるxが0＜x＜πの範囲に1個だけ存在するためのaについての必要十分条件を求めなさい．

　公立 広島市立大学 2011年 第4問

関数f(x)=(x-2)e^{-x/3}について，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，y=f(x)のグラフの概形を描け．必要であれば\lim_{x→∞}xe^{-x}=0を用いてよい．
(2)次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
x≧0,y≦0,y≧f(x)