「極値」について
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(19ページ目:全203問中181問~190問を表示)nを自然数とし,xを変数とする関数国立 茨城大学 2010年 第4問
fn(x)=(nx+n+1)ex,gn(x)=(nx+n-1)e^{-x}
を考える.以下の問いに答えよ.
(1)fn(x)の増減を調べ,極値を求めよ.
(2)gn(x)の増減を調べ,極値を求めよ.
(3)x軸とy軸および曲線y=fn(x)で囲まれた図形の面積Snを求めよ.
(4)x軸とy軸および曲線y=gn(x)で囲まれた図形の面積Tnを求めよ.ただし,n≧2とする.
(5)極限値\lim_{n→∞}\frac{Tn}{Sn}を求めよ.
曲線C:y=(x-3)√x(x>0)の法線を考える.ただし,曲線C上の点Pにおける法線とは,点Pを通り,この曲線上の点Pにおける接線に垂直に交わる直線のことである.このとき,以下の各問に答えよ.国立 愛媛大学 2010年 第8問
(1)関数y=(x-3)√x(x>0)の増減,極値を調べて,そのグラフをかけ.
(2)曲線C上の点(t,(t-3)√t)における法線の方程式を求めよ.
(3)aを正の定数とするとき,点(a,0)を通る法線の本数を調べよ.
nを自然数とし,f(x)=x2e^{-2/3x3}とする.国立 防衛大学校 2010年 第3問
(1)関数y=f(x)の増減を調べ,極値を求めよ.
(2)定積分∫1nf(x)dxを求めよ.
(3)不等式Σ_{k=1}nf(k)<3/2e^{-2/3}を証明せよ.
関数f(x)=x3-3x2+3ax+b(a,b は定数 )について,次の問に答えよ.国立 鹿児島大学 2010年 第4問
(1)f(x)が極値を持つようなaの値の範囲を求めよ.
(2)f(x)の極大値と極小値の差が32となるとき,aの値を求めよ.
(3)(2)で求めたaの値に対し,f(x)の区間-4≦x≦4における最大値が5であるとする.このとき,bの値とこの区間でのf(x)の最小値mを求めよ.
aを0以上の実数とし,x>-1で定義された関数国立 鹿児島大学 2010年 第4問
f(x)=2x2+(1-a2)log(x+1)
について,次の各問いに答えよ.
(1)方程式f´(x)=0がx>-1で異なる2つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ.
(2)aが(1)で求めた範囲にあるとき,関数f(x)の増減を調べ,極値を求めよ.
(3)aが(1)で求めた範囲にあるとき,関数f(x)の極小値は\frac{1-2log2}{2}より大きいことを証明せよ.
aを正の定数とし,関数国立 浜松医科大学 2010年 第2問
f(x)=(x-a)e^{-x}
について,次の各問いに答えよ.ただしeは自然対数の底である.
(1)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ.
(2)関数f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ.
(3)関数f(x)の増減,極値,グラフの凹凸,変曲点を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(4)nを正の整数とする.曲線y=f(x)とx軸および直線x=a+nとで囲まれた部分の面積Snをnとaで表せ.また,\lim_{n→∞}Snを求めよ.
3次関数f(x)=x3-3ax2(a>0)と,曲線C:y=f(x)(-∞<x<∞)を考える.以下の問いに答えよ.国立 宮城教育大学 2010年 第4問
(1)y=f(x)の変曲点における接線の式を求めよ.
(2)曲線Cはこの変曲点に関して対称であることを示せ.
(3)b,cは実数とする.3次方程式x3-3ax2=bx-cが3つの解をもち,それらの解が等差数列をなすとき,cをa,bの式で表せ.
(4)(3)において,等差数列の公差が2√3に等しいとする.このとき,3次関数f(x)-bx+cの極値を求めよ.
関数f(x)=\frac{x+2}{x2+4a}を考える.ただし,aは1≦a<2をみたす定数とする.導関数f´(x)に対して,f´(x)=0となるxのうち正のものをβとする.次の問いに答えよ.国立 京都教育大学 2010年 第6問
(1)x≧0におけるf(x)の増減を調べ,極値を求めよ.
(2)f(x)=f(a)をみたすxを求めよ.
(3)a-1<\frac{2a}{2+a}およびβ<aを示せ.
(4)a-1≦x≦aにおいて,f(x)の最小値が4/9であるとき,f(x)の最大値を求めよ.
次の問に答えよ.国立 豊橋技術科学大学 2010年 第3問
(1)次の定積分の値を計算せよ.
∫0^{1/2}\frac{1}{1-x2}dx
(2)0<x<πとする.関数y=\frac{1}{sinx}の極値を調べグラフの概形をかけ.
(3)y=\frac{1}{sinx}が表す曲線と3直線y=1/2,x=π/3,x=π/2で囲まれた図形の面積を求めよ.
y=f(x)=(x+2)e^{-x}を曲線A,y=ax+2aを直線Bとする(ただし,aはa≠0の実数).以下の問いに答えよ.
(1)f(x)の極値を求めよ.
(2)f(x)の増減表を示せ.ただし,f(x)の第2次導関数まで求め,変曲点も増減表に示せ.
(3)曲線Aが直線Bに接するとき,aの値を求めよ.
(4)曲線Aと直線Bが接するとき,曲線Aと直線Bおよびy軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ.