「極値」について

　国立 宮城教育大学 2014年 第5問

関数
f(x)=∫ax(a+1-|t|)e^{-t}dt
を考える．次の問いに答えよ．ただし，aは正の定数とする．
(1)x≧0とx≦0の場合に，関数f(x)を求めよ．
(2)x≧0のとき，関数f(x)の極値と変曲点を求めよ．
(3)x≧1のとき，ex＞x2となることを示せ．また，g(x)=∫axf(t)dtとおくとき，\lim_{x→∞}g(x)=∫0a|f(x)|dxをみたすaの値を求めよ．

　国立 浜松医科大学 2014年 第2問

関数f(x)=\frac{3√3}{sinx}-\frac{1}{cosx}(0＜|x|＜π/2)を考える．以下の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)は，3次式P(t)=t(2t2-1)を用いて，
f^{\prime\prime}(x)=3√3P(\frac{1}{sinx})-P(\frac{1}{cosx})
と表されることを示せ．また，0＜x1＜x2＜π/2のときf^{\prime\prime}(x1)＞f^{\prime\prime・・・

　国立 東京農工大学 2014年 第4問

pを正の実数とする．関数
f(x)=∫_{-1}x{p-log(1+|t|)}dt
について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)f(x)の極値を求めよ．
(2)xy平面の曲線y=f(x)がx軸の正の部分と2点で交わるような，pの値の範囲を求めよ．

　私立 東北工業大学 2014年 第4問

3次関数f(x)=x3-ax2-3bx-10がある．
(1)関数f(x)がx=-2,4で極値をとるならば，a=[マ][ミ]，b=[ム][メ]である．
(2)関数y=f(x)のグラフが点(3,-1)を通り，この点における接線の傾きが3であるならば，a=[モ][ヤ]，b=-[ユ][ヨ]である．
(3)a+b=0のとき，関数f(x)が常に増加するならば，0≦a≦[ラ][リ]である．

　私立 東北学院大学 2014年 第3問

aを実数とし
f(x)=∫1x(t-a)(t-x)dt
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)f´(x)=0となるxを求めよ．
(3)f(x)の極値をaの範囲によって分けて求めよ．

　私立 龍谷大学 2014年 第4問

関数f(x)=(x2-2)2について考える．
(1)f(x)の増減と極値を調べ，それをもとにy=f(x)のグラフの概形を描きなさい．
(2)x軸と曲線y=f(x)で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めなさい．

　私立 広島修道大学 2014年 第3問

次の問に答えよ．
(1)関数y=-2x3-3x2+12xの極値を求め，そのグラフをかけ．
(2)0≦θ≦πとする．mが実数のとき，次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ．
sinθ(2cos2θ-3sinθ+10)-m=0

　私立 早稲田大学 2014年 第2問

aを実数とする．関数f(x)=x3-axを考える．次の設問に答えよ．
(1)f(x)が区間-1＜x＜1において極値をとるようなaの値の範囲を求めよ．
(2)f(x)の区間-1≦x≦1における最小値が-\frac{√2}{2}となるaの値をすべて求めよ．

　私立 早稲田大学 2014年 第4問

関数f(x)を次の積分で定義する．
f(x)=∫x^{x+log2}|e^{2t|-et-2}dt
次の問に答えよ．
(1)g(t)=e^{2t}-et-2のグラフを描け．
(2)f(x)を求めよ．
(3)f(x)が極値をとるxを求めよ．

　私立 神奈川大学 2014年 第3問

f(x)=-1/3x3+1/2x2+2とする．以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)f(x)の増減表をかき，極値を求めよ．
(3)y=f´(x)のグラフとx軸で囲まれた部分の面積をS1とする．S1を求めよ．
(4)0＜k＜1とする．直線y=kxとy=f´(x)のグラフで囲まれた部分の面積をS2とする．S2をkの式で表せ．
(5)S2がS1の1/8となるときのkの値を求めよ．