「極値」について

　公立 北九州市立大学 2014年 第2問

2つの曲線C1:f(x)=x3-xとC2:g(x)=x3+x2+axについて考える．ただし，aは定数である．曲線C1上の点A(1/2,-3/8)における接線をℓとし，点Aと異なる点B(p,q)において曲線C1と直線ℓは交わっている．以下の問題に答えよ．
(1)曲線C1を原点に関して対称移動したグラフはC1自身であることを証明せよ．
(2)直線ℓの方程式とp,qの値を求めよ．
(3)関数f(x)のp≦x≦1/2における最大値・・・

　国立 東京大学 2013年 第1問

関数y=x(x-1)(x-3)のグラフをC，原点Oを通る傾きtの直線をℓとし，CとℓがO以外に共有点をもつとする．Cとℓの共有点をO，P，Qとし，|ベクトルOP|と|ベクトルOQ|の積をg(t)とおく．ただし，それらの共有点の1つが接点である場合は，O，P，Qのうちの2つが一致して，その接点であるとする．関数g(t)の増減を調べ，その極値を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2013年 第4問

f(x)=xe^{-x/2},g(x)=√exとする．次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)f(x)の極値を求めよ．
(2)kを定数とする．0≦x≦4の範囲でf(x)=kの実数解の個数を求めよ．
(3)2つの曲線y=f(x)とy=g(x)で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2013年 第4問

f(x)=xe^{-x/2},g(x)=√exとする．次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)f(x)の極値を求めよ．
(2)kを定数とする．0≦x≦4の範囲でf(x)=kの実数解の個数を求めよ．
(3)2つの曲線y=f(x)とy=g(x)で囲まれた部分の面積を求めよ．

　国立 名古屋工業大学 2013年 第1問

関数f(x)=log(x+1)-1/2log(x2+1)(x＞-1)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減を調べて極値を求めよ．
(2)kを実数とする．xについての方程式f(x)=kの相異なる実数解の個数を調べよ．
(3)曲線y=f(x)，x軸および直線x=1で囲まれる図形の面積Sを求めよ．

　国立 富山大学 2013年 第1問

関数f(x)=x+2sinxを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)(0≦x≦2π)の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)0＜x＜2πにおいて関数f(x)が極値をとるときのxの値をα,β(0＜α＜β＜2π)とする．曲線y=f(x)のα≦x≦βの部分とx軸，および2直線x=α，x=βで囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 富山大学 2013年 第1問

3次関数f(x)は，次の2つの条件を満たすとする．
(i)関数f(x)は，x=1とx=2で極値をもつ
(ii)整式f(x)をx2-3x+1で割った余りは-x+2である．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)方程式f(x)=0を解け．
(3)関数f(x)の増減を調べ，そのグラフをかけ．

　国立 宮城教育大学 2013年 第2問

関数f(x)=x3-3axについて次の問いに答えよ．ただし，aは正の定数である．
(1)関数y=f(x)の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数kが0＜k≦√aの範囲にあるとき，-k≦x≦2kにおけるf(x)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 宮城教育大学 2013年 第4問

x＞0のとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式2√x＞logxを示せ．
(2)関数y=\frac{1-logx}{x2}の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

　国立 佐賀大学 2013年 第3問

定数a,bと自然対数の底eに対して，f(x)=(ax+b)e^{-x}とおく．曲線y=f(x)は点(0,2)を通り，その点における接線の傾きは2であるとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)a,bの値を求めよ．
(2)関数f(x)の極値を求めよ．
(3)0≦x≦1の範囲において，曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．