「極大値」について

　国立 茨城大学 2014年 第2問

サイコロを2回続けて振って出た目の数を順にa,bとする．このとき，3次関数f(x)=x3-ax+bについて以下の各問に答えよ．
(1)f(x)の極大値と極小値をa,bを用いて表せ．
(2)3次方程式f(x)=0が相異なる実数解をちょうど2つ持つようなa,bの組を求めよ．
(3)(2)で求めたa,bの組に対して，曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)f(x)=0が相異なる3つの実数解を持つ確率を求めよ．

　私立 北海道薬科大学 2014年 第4問

3次関数f(x)=x3-3x2-3ax（aは実数）がx=αで極大値，x=βで極小値（α,βは実数）をとるとき，次の設問に答えよ．
(1)aの値の範囲はa＞[アイ]である．
(2)α-β=[ウエ]\sqrt{a+[オ]}である．
(3)f(x)の極大値と極小値の差が1/2のとき，aの値は\frac{[カキ]}{[ク]}である．

　私立 早稲田大学 2014年 第1問

2つの関数
f(x)=2x3-3x2-12x
g(x)=-9x2+6x+a
に対して，次の問に答えよ．ただしaは定数とする．
(1)f(x)の極大値および極小値を与えるxの値をそれぞれα,βとおく．αおよびβの値を求めよ．
(2)任意のx＞αに対して，f(x)≧g(x)を満たすaの値の範囲を求めよ．
(3)任意のx1＞αおよび任意のx2＞αに対して，f(x1)≧g(x2)を満たすaの値の範囲を求めよ．

　私立 早稲田大学 2014年 第2問

3次関数f(x)=x3-ax-bについて，次の問に答えよ．
(1)a＞0であるとき，f(x)の極大値と極小値を求めよ．
(2)次の(i)，(ii)，(iii)を示せ．
(i)27b2-4a3＞0のとき，3次方程式f(x)=0はただ1つの実数解をもつ．
(ii)27b2-4a3=0かつa＞0のとき，3次方程式f(x)=0は異なる2つの実数解をもつ．
(iii)27b2-4a3＜0のとき，3次方程式f(x)=0は異なる3つの実数解をもつ．

　私立 北里大学 2014年 第3問

関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=pで極大値f(p)，x=1で極小値-4をとるものとする．ただし，a,b,c,pは定数とする．次の問に答えよ．
(1)a,b,cをpを用いて表せ．
(2)曲線y=f(x)上の点(2,f(2))における接線をℓとする．接線ℓの傾きをpを用いて表せ．
(3)(2)の接線ℓが点(2p,f(2p))を通るとき，pの値を求めよ．また，このとき極大値f(p)の値を求めよ．

　私立 安田女子大学 2014年 第4問

kを正の定数とする．f(x)=2x3-12kx2+18k2xとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の極大値および極小値を求めよ．
(2)関数f(x)が極大となるグラフ上の点を通り，x軸と平行な直線が再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．
(3)区間0≦x≦8におけるf(x)の最大値を求めよ．

　私立 北海学園大学 2014年 第4問

関数f(x)=ax3+bx2+cx-8とg(x)=x2-4x+8がある．f(x)はx=2で極大値0をとり，x=pで極小値f(p)をとる．また，曲線y=f(x)が点(1,-4)を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，a,b,cは定数とする．
(1)a,b,cの値を求めよ．また，極小値f(p)を求めよ．
(2)曲線y=g(x)に点(p,f(p))から引いた2本の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線y=g(x)と(2)で求めた2本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

　私立 北海学園大学 2014年 第2問

関数f(x)=ax3+bx2+cx-8とg(x)=x2-4x+8がある．f(x)はx=2で極大値0をとり，x=pで極小値f(p)をとる．また，曲線y=f(x)が点(1,-4)を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，a,b,cは定数とする．
(1)a,b,cの値を求めよ．また，極小値f(p)を求めよ．
(2)曲線y=g(x)に点(p,f(p))から引いた2本の接線の方程式を求めよ．
(3)曲線y=g(x)と(2)で求めた2本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

　私立 東京薬科大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．ただし，*については+,-の1つが入る．
(1)(√2+√3+√7)(√2+√3-√7)(√2-√3+√7)(-√2+√3+√7)=[アイ]
(2)関数f(x)=x3+ax2+bx+5が，x=-2で極大値を，x=1で極小値をとるなら，
a=\frac{[*ウ]}{[エ]},b=[*オ]
である．
(3)座標平面上に原点OとA(3,0)，B(0,4)があり，点Pはtを実数として，
ベクトルOP=tベクトルOA+(1・・・

　私立 名城大学 2014年 第4問

aを定数として，xの3次関数
f(x)=x3+6(1-a)x2-48ax
について，次の問に答えよ．
(1)f(x)が極値をもたないとき，aの値を求めよ．
(2)f(x)が正の極大値と負の極小値をもつとき，aの値の範囲を求めよ．
(3)f(x)が負の極大値をもつとき，aの値の範囲を求めよ．