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a,bを実数の定数とする.関数f(x)=-x3+3x2+ax+bについて,以下の問いに答えよ.
(1)f(x)が極大値と極小値をもつための条件を求めよ.
(2)f(x)がx=pで極大,x=qで極小となり,かつp2+q2=10が成り立つとする.このとき,a,p,qの値を求めよ.
(3)(2)において,方程式f(x)=0が異なる3つの実数解をもつための条件を求めよ.
国立 熊本大学 2013年 第2問f(x)をx=-1で極大,x=2で極小となる3次関数で
∫02f´(x)dx=-5
を満たすものとする.以下の問いに答えよ.
(1)f´(x)を求めよ.
(2)f(x)の極大値と極小値の差を求めよ.
国立 山梨大学 2013年 第2問関数f(x)=x3-3a2x-2a2を考える.ただし,a>1とする.
(1)関数f(x)の極大値と極小値を求めよ.
(2)定数k(k<0)に対して,方程式f(x)=kが相異なる2つだけの実数解x1,x2をもつとする.このとき,k,x1,x2の値をそれぞれ求めよ.ただし,x1<x2とする.
(3)x1,x2を(2)で求めた値とするとき,P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),原点の3点を通る放物線を求めよ.
(4)kが(2)で求めた値をとるとき,(3)で求めた放物線と直線y=kで囲まれた図形の面積を求めよ.・・・
国立 茨城大学 2013年 第4問a,bを実数として,関数f(x)=x3-ax2+bx+1について次の各問に答えよ.
(1)微分係数f´(0),f´(1)をa,bを用いて表せ.
(2)f(x)が極大値と極小値をもつためのa,bの条件を求めよ.
(3)f(x)が極大値と極小値をもつとき,極大値と極小値の平均が1となるためのa,bの条件を求めて,ab平面上に図示せよ.
国立 京都教育大学 2013年 第6問関数f(x)が次のように与えられているとする.
f(x)=1/4(1-x2)2-θx
ただしθは実数とする.以下の問に答えよ.
(1)曲線y=f(x)上の点(0,1/4)における接線の方程式を求めよ.
(2)曲線y=f(x)と(1)で求めた接線によって囲まれる図形の面積を求めよ.
(3)関数f(x)が極大値をもつときのθの範囲を求めよ.
私立 自治医科大学 2013年 第22問関数f(x)=∫1x(t2-t-6)dtの極大値をp,極小値をqとする.(pq+100)の値を求めよ.
私立 西南学院大学 2013年 第5問関数f(x)をf(x)=-x3-3x2+aとし,y=f(x)で表されるグラフをCとする.Cが極小となる点でx軸と接するとき,以下の問に答えよ.
(1)f(x)の導関数f´(x)を求め,f(x)の極小値と極大値およびaの値を求めよ.
(2)Cとx軸の共有点のうち,Cが極小とならない座標を求め,その点におけるCの接線ℓの方程式を求めよ.
(3)y=3x2-3で表されるグラフをDとし,Dと(2)で求めたℓで囲まれる部分をEとする.Eをy軸で2分割し,x≧0の部分の面積とx≦0の部分の面積・・・
私立 西南学院大学 2013年 第4問xの関数g(x)=1/38x-3・4x+2^{x+3}+aが極大値22/3をとるとき,定数aの値は\frac{[マ]}{[ミ]}であり,そのときg(x)はx=[ム]で極小値[メ]をとる.
私立 金沢工業大学 2013年 第4問関数f(x)=|x-1|√xを考える.
(1)関数f(x)はx=\frac{[ク]}{[ケ]}で極大値\frac{[コ]}{[サ]}\sqrt{[シ]}をとり,x=[ス]で極小値[セ]をとる.
(2)曲線y=f(x)とx軸によって囲まれた図形の面積は\frac{[ソ]}{[タ][チ]}である.
(3)曲線y=f(x)とx軸によって囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は\frac{[ツ]}{[テ][ト]}であ・・・
私立 金沢工業大学 2013年 第6問関数f(x)=2x2+3x+1,g(x)=x2+x+2に対して,
h(x)=2∫1xf(t)dt-3∫1xg(t)dt
とおく.
(1)h(x)=\frac{1}{[ケ]}x3+\frac{[コ]}{[サ]}x2-4x+\frac{[シ][ス]}{[セ]}である.
(2)h(x)はx=[ソ][タ]で極大値\frac{[チ][ツ][テ]}{[ト]}をとり,x=[ナ]で極小値[ニ]をとる.