「極大値」について

　国立 高知大学 2012年 第4問

3次関数f(x)=x3+ax2+bxについて次の問いに答えよ．
(1)f(x)がx=αで極大値を，x=βで極小値を持ち，f(α)-f(β)=4とする．
\mon[(i)]β-αをa,bの式で表せ．
\mon[(ii)]a,bの間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線y=f(x)に点(0,8)から引いた接線の本数がちょうど2本あるとする．
\mon[(i)]x=tにおける接線の方程式を求めよ．
\mon[(ii)]aの値を求めよ．
(3)(1)，(2)がともに成り立つと・・・

　国立 群馬大学 2012年 第5問

p＞0は定数とし，f(x)=x3-pxとする．f(x)はx=aで極小値mを，x=bで極大値Mをとるとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)a,b,m,Mをそれぞれpを用いて表せ．
(2)直線y=mおよびy=Mと曲線y=f(x)との(a,m)，(b,M)以外での交点をそれぞれ(c,m)，(d,M)とする．このときc,dをそれぞれpを用いて表せ．

　私立 早稲田大学 2012年 第5問

kを実数とする．3次関数
f(x)=-x3+kx2+kx+1
がx=αで極小値をとり，x=βで極大値をとる．3点A(α,f(α))，B(β,f(β))，C(β,f(α))がAC=BCを満たすとき，
α+β=\frac{[テ]}{3}k,αβ=\frac{[ト]}{3}k
である．したがって，
k=\frac{[ナ]±[ニ]\sqrt{[ヌ]}}{2}
となる．ただし，[ニ]は自然数，[ヌ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第4問

tを実数の定数として，xの3次関数
f(x)=1/3x3-2tx2+(4t-4^{-t})x
を考える．f(x)はx=αにおいて極大値を，x=βにおいて極小値をとるとする．
(1)α,βをtのなるべく簡単な式で表せ．
(2)α,βがαβ=1を満たすとき
t=1/2{log2([(a)]+\sqrt{[(b)]})-[(c)]}
である．(a),(b),(c)にあてはまる1桁の自然数を求めよ．
(3)α,βがβ-α≧12を満た・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第3問

実数係数のxの多項式で表された関数f(x)は，導関数f^{\prime}(x)がすべての実数xに対して
f´(x)＞0をみたし，かつ，f´(x)は極大値をもつとする．実数sに対して，点(s,f(s))における曲線y=f(x)の接線とx軸との交点のx座標をsの関数としてg(s)と表す．
(1)導関数g´(s)を求めよ．
(2)関数g(s)は極大値と極小値をもつことを示せ．

　私立 明治大学 2012年 第2問

f(x)=x3-48x,g(x)=9x+k（kは定数）がある．以下の問に答えなさい．
(1)y=f(x)とy=g(x)のグラフが3つの異なる交点を持つ必要十分条件は|k|＜[ケ][コ]\sqrt{[サ][シ]}である．
(2)y=f(x)は，x=aのとき，極大値bをとる．また，g(a)=cとする．
log_{10}b-7log_{10}c+7=0が成立するのは，k=[ス][セ]のときである．このとき，y=f(x)とy=g(x)のグラフは，3つの異なる交点をもち，それらのx座標の値は，小さい順に並べると-[ソ],-[タ],\kak・・・

　私立 法政大学 2012年 第3問

関数y=x3-(a+2)x+a2-2aとそのグラフCaに対して，次の問いに答えよ．ただし，a≧1とする．
(1)Caと直線x=1との交点の座標を(1,t)とするとき，aの変化に応じてtのとり得る値の範囲を求めよ．
(2)この関数がx=√2で極値をとるとき，aの値および極大値，極小値を求めよ．
(3)a=1としたときのグラフをC1とする．2つのグラフCaとC1およびy軸とで囲まれた図形の面積が4となるとき，aの値を求めよ．

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)方程式x3-4x2+ax+b=0の1つの解が1-2iであるとき，実数解は[ア]であり，a=[イ]，b=[ウ]である．ただし，定数a,bは実数とし，iは虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて2回振り，最初に出た目がa，次に出た目がbならば座標平面上に直線ℓ:y=ax-bを描く．この試行において，直線ℓが放物線y=x2と相異なる2点で交わる確率は[エ]である．
(3)不等式x2+y2+6x+4y-12≦0の表す領域の面積は\ka・・・

　私立 自治医科大学 2012年 第22問

関数f(x)=x3-9x2+3xは，x=aで極大値をとり，x=bで極小値をとるものとする（a,bは実数）．(a+b)の値を求めよ．

　私立 北海学園大学 2012年 第4問

3次関数f(x)=x3+ax2+bxは，x=2で極大値20をとる．ただし，aとbは定数とする．
(1)aとbの値をそれぞれ求めよ．また，f(x)の極小値を求めよ．
(2)f(x)の定義域を1≦x≦5とするとき，f(x)の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)2曲線y=f(x)，y=x3+27，および2直線x=1，x=5で囲まれた図形の面積を求めよ．