「極大値」について

　私立 南山大学 2012年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)関数f(θ)=sin2θ-√3cosθ+2(0≦θ≦π)は，θ=[ア]で最大値[イ]をとる．
(2)実数x,yが2x+3y+1=0を満たすとき，4x+8yはx=[ウ]で最小値[エ]をとる．
(3)実数aに対して，3次方程式9x3-3x2+ax-1=0の1つの解が1/3のとき，a=[オ]である．また，この方程式の1/3以外の解をα,βとするとき，\al・・・

　私立 南山大学 2012年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)△ABCにおいて，AC=10，BC=6，cosA=4/5とし，辺ACの中点をMとする．このとき，tanA=[ア]であり，△BCMの外接円の半径は[イ]である．
(2)関数f(x)=|x-1|-|x+2|+|x-3|が，f(a)=0を満たすとき，a=[ウ]である．また，y=f(x)のグラフとx軸で囲まれた図形の面積は[エ]である．
(3)kを正の実数とする．3次関数f(x)=kx3+3kx2-9kx+3・・・

　私立 南山大学 2012年 第3問

aを実数として，関数f(x)=acosx-\frac{cosx}{1+sinx}(0≦x≦π/2)を考える．
(1)t=sinxとし，f´(x)をaとtの式で表せ．
(2)f´(π/6)=0となるようにaの値を定めよ．そのとき，f(x)はx=π/6で極大となることを示し，極大値f(π/6)を求めよ．
(3)aの値を(2)のように定めるとき，曲線y=f(x)とx軸とy軸とで囲・・・

　私立 南山大学 2012年 第2問

a,bを正の定数とし，関数f(x)=2x3-3ax2と座標平面上の2つの曲線C1:y=f(x)，C2:y=f(x)+bを考える．
(1)f(x)の極大値と極小値を求めよ．
(2)区間0≦x≦5におけるf(x)の最小値をaで表せ．
(3)a=1,b=5として，同一平面上にC1とC2を図示せよ．
(4)1つの直線がC1，C2の両方の接線であるとき，その直線をC1，C2の共通接線という．a=1のとき，C1とC2に，傾き12の共通接線があるようにbの値を定めよ．

　私立 学習院大学 2012年 第3問

a,bを正の実数とする．3次関数
f(x)=ax(x-b)2
はf(4)=27をみたし，0＜x＜4において極大値2をもつ．a,bを求めよ．

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

a,bを実数として，xの4次関数f(x)=x4-ax2+bxを考える．次の問いに答えよ．
(1)s,tを異なる実数とする．曲線y=f(x)の，x=sにおける接線の傾きと，x=tにおける接線の傾きが等しいとき，aをsとtを用いて表せ．
(2)曲線y=f(x)が異なる2点で共通の接線ℓをもつとし，その接点のx座標の一つをsとする．
(i)aをsを用いて表せ．
(ii)ℓの方程式を，aとbを用いて表せ．
(3)関数f(x)が極大値をもつための・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

自然数n=1,2,3,・・・に対し，x＞0で定義された関数fn(x)を
fn(x)=\frac{logx}{xn}(x＞0)
で定める．ただし，logは自然対数を表す．
t＞1とするとき，座標平面において曲線y=fn(x)のx≦tの部分，x軸，直線x=tの3つで囲まれている図形の面積をSn(t)とする．また，4点(1,0)，(t,0)，(t,fn(t))，(1,fn(t))を頂点とする長方形の面積をTn(t)とする．
(1)関数fn(x)が極大となるときのxの値と，そのときのfn(x)の極大値を・・・

　私立 金沢工業大学 2012年 第2問

a,b,cを定数とする．関数f(x)=\frac{ax+b}{x2+c}はx=2，x=4で極値をとり，f(0)=3を満たす．
(1)a=[ク]，b=[ケコサ]，c=[シス]である．
(2)関数f(x)はx=[セ]で極大値[ソ]をとり，x=[タ]で極小値[チ]をとる．

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

aを実数とし，関数f(x)=x3+3ax2+(3a2-a)xについて考える．方程式f(x)=0の異なる実数解の個数をkとする．f(0)=0であることに注意せよ．
(1)k=1となるようなaの値の範囲を求めよ．
(2)k=2となるようなaの値を求めよ．
(3)k=3となるようなaの値の範囲を求めよ．
(4)aは(3)で求めた範囲にあるとする．方程式f(x)=0の0以外の実数解をα,βとおく．ただし，α＜βとする．
(i)α＜0であることを示せ．
(ii)\alp・・・

　私立 広島工業大学 2012年 第4問

関数f(x)=x3+(a-2)x2+3xについて，次の問いに答えよ．ただし，aは定数とする．
(1)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)f(x)が極値をもつとき，aの値の範囲を求めよ．
(3)f(x)がx=-aで極値をもつとき，aの値を求めよ．さらに，このときの極大値を求めよ．