「極小」について

　国立 愛媛大学 2015年 第3問

aを自然数とし，関数f(x)=x3+2x2+ax+4はx=x1で極大，x=x2で極小になるものとする．また，曲線y=f(x)上の2点P(x1,f(x1))，Q(x2,f(x2))の中点をRとする．
(1)a=1であることを示せ．
(2)点Pおよび点Qの座標を求めよ．
(3)点Rは曲線y=f(x)上にあることを示せ．
(4)点Rにおける曲線y=f(x)の接線は，点R以外にy=f(x)との共有点をもたないことを示せ．

　私立 慶應義塾大学 2015年 第3問

3次関数f(x)はx=0で極小，x=a＞0で極大になるとする．またx=b(≠a)でf(a)=f(b)が成り立つとする．x=bにおけるy=f(x)の接線がy軸と交わる点を(0,c)とおく．もし3点(a,f(a))，(b,f(b))，(0,c)を3頂点とする三角形が二等辺三角形になるならば，接線の傾きは
-2\sqrt{[27][28]}　または　-\sqrt{[29][30]}
であり，それぞれに対応して，cの値は
c-f(a)=-\sqrt{[31][32]}a　または　-\frac{\sqrt{[33]}}{\k・・・

　国立 高知大学 2014年 第1問

f(x)=x(x-1)(x+1)とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)が極大，極小になるときのxと，その極大値，極小値を求めよ．
(2)y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(3)xが|x-1|＜1/2をみたすとき，点(x,f(x))は点(1,0)を中心とする半径3の円の内部に含まれることを示せ．
(4)1以下の正の数rに対して，xが|x-1|＜rの範囲を動くとき，点(x,f(x))は点(1,0)を中心とする半径10rの円の内部に含まれることを示せ．

　国立 高知大学 2014年 第4問

f(x)=x(x-1)(x+1)とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)が極大，極小になるときのxと，その極大値，極小値を求めよ．
(2)y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(3)xが|x-1|＜1/2をみたすとき，点(x,f(x))は点(1,0)を中心とする半径3の円の内部に含まれることを示せ．
(4)1以下の正の数rに対して，xが|x-1|＜rの範囲を動くとき，点(x,f(x))は点(1,0)を中心とする半径10rの円の内部に含まれることを示せ．

　私立 慶應義塾大学 2014年 第2問

a,b,cを実数とする．xの関数F(x)を
F(x)=1/3x3+ax2+bx+c
と定め，
f(x)=F´(x)
とおく．関数F(x)はx=αにおいて極大に，x=βにおいて極小になるとする．点(α,f(α))，(β,f(β))における曲線y=f(x)の接線をそれぞれℓ_α，ℓ_βとする．
(1)直線ℓ_αとℓ_βの交点の座標は
(\frac{[15]}{[16]}α+\frac{[17]}{[18]}β,\frac{[19][20]}{\kakk・・・

　公立 会津大学 2014年 第5問

a,bを実数の定数とする．関数f(x)=-x3+3x2+ax+bについて，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)が極大値と極小値をもつための条件を求めよ．
(2)f(x)がx=pで極大，x=qで極小となり，かつp2+q2=10が成り立つとする．このとき，a,p,qの値を求めよ．
(3)(2)において，方程式f(x)=0が異なる3つの実数解をもつための条件を求めよ．

　国立 熊本大学 2013年 第2問

f(x)をx=-1で極大，x=2で極小となる3次関数で
∫02f´(x)dx=-5
を満たすものとする．以下の問いに答えよ．
(1)f´(x)を求めよ．
(2)f(x)の極大値と極小値の差を求めよ．

　国立 高知大学 2013年 第1問

3次関数f(x)=x3-6x+3について，次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)の増減表を作り，yが極大，極小となるグラフ上の点をそれぞれ，A，Bとするとき，それらの点の座標を求めよ．
(2)線分ABの中点Cの座標を求め，Cがy=f(x)のグラフの上にあることを示せ．
(3)y=f(x)のグラフは，(2)で求めた点Cに関して点対称であることを示せ．
(4)(2)で求めた点Cを通り傾きが2の直線とy=f(x)のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

　私立 西南学院大学 2013年 第5問

関数f(x)をf(x)=-x3-3x2+aとし，y=f(x)で表されるグラフをCとする．Cが極小となる点でx軸と接するとき，以下の問に答えよ．
(1)f(x)の導関数f´(x)を求め，f(x)の極小値と極大値およびaの値を求めよ．
(2)Cとx軸の共有点のうち，Cが極小とならない座標を求め，その点におけるCの接線ℓの方程式を求めよ．
(3)y=3x2-3で表されるグラフをDとし，Dと(2)で求めたℓで囲まれる部分をEとする．Eをy軸で2分割し，x≧0の部分の面積とx≦0の部分の面積・・・

　私立 東北工業大学 2013年 第5問

2次関数f(x)があり，f(0)=24である．また，その導関数をf´(x)=ax-bとおく．ただし，a,bはともに定数であり，a＞0とする．このとき，
(1)a=[][],b=[][]ならば，f(1)=f(3)=0である．
(2)a=[][],b=[][]ならば，x=2.5のときf(x)が極小となり，その極小値は-1である．
(3)f´(1.5)=25ならば，f(3)=[][]である．