「極小値」について

　国立 北海道大学 2014年 第1問

f(x)=x4-4x3-8x2とする．
(1)関数f(x)の極大値と極小値，およびそのときのxを求めよ．
(2)曲線y=f(x)に2点(a,f(a))と(b,f(b))(a＜b)で接する直線の方程式を求めよ．

　国立 大阪大学 2014年 第3問

関数f(x)=px3+qx2+rx+sは，x=0のとき極大値Mをとり，x=αのとき極小値mをとるという．ただしα≠0とする．このとき，p,q,r,sをα,M,mで表せ．

　国立 高知大学 2014年 第1問

f(x)=x(x-1)(x+1)とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)が極大，極小になるときのxと，その極大値，極小値を求めよ．
(2)y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(3)xが|x-1|＜1/2をみたすとき，点(x,f(x))は点(1,0)を中心とする半径3の円の内部に含まれることを示せ．
(4)1以下の正の数rに対して，xが|x-1|＜rの範囲を動くとき，点(x,f(x))は点(1,0)を中心とする半径10rの円の内部に含まれることを示せ．

　国立 高知大学 2014年 第4問

f(x)=x(x-1)(x+1)とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=f(x)が極大，極小になるときのxと，その極大値，極小値を求めよ．
(2)y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(3)xが|x-1|＜1/2をみたすとき，点(x,f(x))は点(1,0)を中心とする半径3の円の内部に含まれることを示せ．
(4)1以下の正の数rに対して，xが|x-1|＜rの範囲を動くとき，点(x,f(x))は点(1,0)を中心とする半径10rの円の内部に含まれることを示せ．

　国立 茨城大学 2014年 第2問

サイコロを2回続けて振って出た目の数を順にa,bとする．このとき，3次関数f(x)=x3-ax+bについて以下の各問に答えよ．
(1)f(x)の極大値と極小値をa,bを用いて表せ．
(2)3次方程式f(x)=0が相異なる実数解をちょうど2つ持つようなa,bの組を求めよ．
(3)(2)で求めたa,bの組に対して，曲線y=f(x)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)f(x)=0が相異なる3つの実数解を持つ確率を求めよ．

　私立 北海道薬科大学 2014年 第4問

3次関数f(x)=x3-3x2-3ax（aは実数）がx=αで極大値，x=βで極小値（α,βは実数）をとるとき，次の設問に答えよ．
(1)aの値の範囲はa＞[アイ]である．
(2)α-β=[ウエ]\sqrt{a+[オ]}である．
(3)f(x)の極大値と極小値の差が1/2のとき，aの値は\frac{[カキ]}{[ク]}である．

　私立 千葉工業大学 2014年 第2問

次の各問に答えよ．
(1)0≦θ≦πとする．F=2sinθ(sinθ-√3cosθ)は
\begin{array}{rcl}
F&=&[ア]-√3sin2θ-cos2θ\
&=&[ア]-[イ]sin(2θ+\frac{[ウ]}{[エ]}π)
\end{array}
と変形できる．ここで，0≦\frac{[ウ]}{[エ]}π＜2πとする．Fはθ=\frac{[オ]}{[カ]}πのとき，最大値[キ]をとる．
\・・・

　私立 早稲田大学 2014年 第1問

2つの関数
f(x)=2x3-3x2-12x
g(x)=-9x2+6x+a
に対して，次の問に答えよ．ただしaは定数とする．
(1)f(x)の極大値および極小値を与えるxの値をそれぞれα,βとおく．αおよびβの値を求めよ．
(2)任意のx＞αに対して，f(x)≧g(x)を満たすaの値の範囲を求めよ．
(3)任意のx1＞αおよび任意のx2＞αに対して，f(x1)≧g(x2)を満たすaの値の範囲を求めよ．

　私立 早稲田大学 2014年 第2問

3次関数f(x)=x3-ax-bについて，次の問に答えよ．
(1)a＞0であるとき，f(x)の極大値と極小値を求めよ．
(2)次の(i)，(ii)，(iii)を示せ．
(i)27b2-4a3＞0のとき，3次方程式f(x)=0はただ1つの実数解をもつ．
(ii)27b2-4a3=0かつa＞0のとき，3次方程式f(x)=0は異なる2つの実数解をもつ．
(iii)27b2-4a3＜0のとき，3次方程式f(x)=0は異なる3つの実数解をもつ．

　私立 北里大学 2014年 第3問

関数f(x)=x3+ax2+bx+cはx=pで極大値f(p)，x=1で極小値-4をとるものとする．ただし，a,b,c,pは定数とする．次の問に答えよ．
(1)a,b,cをpを用いて表せ．
(2)曲線y=f(x)上の点(2,f(2))における接線をℓとする．接線ℓの傾きをpを用いて表せ．
(3)(2)の接線ℓが点(2p,f(2p))を通るとき，pの値を求めよ．また，このとき極大値f(p)の値を求めよ．