「極小値」について

　私立 北海道医療大学 2013年 第3問

3次関数f(x)=x3+2kx2-kx+1について，以下の問に答えよ．ただし，kは定数とする．
(1)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)関数f(x)が極大値と極小値をもつときのkの値の範囲を求めよ．
(3)kが(2)で求めた範囲にあるとき，極値を与えるxの値をα,βとおく．このとき，αβ，α+β，α2+β2，α3+β3の値を求めよ．ただし，α＞βとする．
(4)kが(2)で求めた範囲にあるとき，極大値と極小値の和をkを用いて表せ．
\end{・・・

　私立 北里大学 2013年 第1問

2つの関数f(x)=x3-6x2+9x+1とg(x)=|-x2+6x-3|-2がある．
(1)関数f(x)は，極大値[ア]，極小値[イ]をとる．
(2)関数y=g(x)のグラフと直線x+y=kが異なる4個の共有点をもつ．このとき，実数kのとり得る値の範囲は，[ウ]＜k＜[エ]である．
(3)方程式f(x)=g(x)の解のうち，最小のものはx=[オ]であり，最大のものはx=[カ]である．

　私立 安田女子大学 2013年 第4問

関数f(x)=x3-3x2+4とする．kを実数とし，y=f(x)をx軸方向にk，y軸方向に-4だけ平行移動した曲線の方程式をy=g(x)とするとき，次の問いに答えよ．
(1)g(x)の極大値と極小値を求めよ．
(2)y=f(x)とy=g(x)が異なる2つの交点をもち，このうちどちらか一方の交点のx座標が2であるとき，kの値を求めよ．
(3)kが(2)で求めた値をとるとき，y=f(x)とy=g(x)で囲まれた図形の面積を求めよ．

　私立 早稲田大学 2013年 第3問

実数a,b,cに対して，f(x)=x3+ax2+bx+cとする．関数f(x)はf(α)=f(β)=0(α≠β)を満たす．また，この関数はx=αで極小値0をとり，x=γで極大となる．このとき，
γ=\frac{[コ]α+[サ]β}{[シ]}
である．さらに，β=4αのとき，極大値と極小値の差が32であるとすると，
a=[ス],b=[セ],c=[ソ]
である．

　私立 早稲田大学 2013年 第3問

2つの曲線y=x3-x・・・・・・①およびy={(x-a)}3-(x-a)・・・・・・②がある．ただし，a＞0とする．次の問に答えよ．
(1)②がx=x1で極大値，x=x2で極小値をとり，x=x1,x2における曲線②上の点をそれぞれA，Bとするとき，直線ABの方程式を求めよ．
(2)曲線①,②が異なる2点で交わるとき，aの値の範囲を求めよ．
(3)(2)のとき，曲線①,②の交点のx座標をα,β(α＜β)・・・

　私立 早稲田大学 2013年 第1問

関数f(x)=x3+ax2+bxがx=αで極大値，x=βで極小値をとるとき，次の各問に答えよ．
(1)極大値と極小値がともに存在するための条件を，aとbを用いて表せ．
(2)α+βを，aとbを用いて表せ．
(3)f(α)+f(β)を，aとbを用いて表せ．
(4)f(α)+f(β)=0が成り立つための条件を，aとbを用いて表せ．

　国立 大阪大学 2012年 第1問

1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目をl，2回目に出る目をm，3回目に出る目をnで表し，3次式
f(x)=x3+lx2+mx+n
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)が(x+1)2で割り切れる確率を求めよ．
(2)関数y=f(x)が極大値も極小値もとる確率を求めよ．

　国立 高知大学 2012年 第4問

3次関数f(x)=x3+ax2+bxについて次の問いに答えよ．
(1)f(x)がx=αで極大値を，x=βで極小値を持ち，f(α)-f(β)=4とする．
\mon[(i)]β-αをa,bの式で表せ．
\mon[(ii)]a,bの間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線y=f(x)に点(0,8)から引いた接線の本数がちょうど2本あるとする．
\mon[(i)]x=tにおける接線の方程式を求めよ．
\mon[(ii)]aの値を求めよ．
(3)(1)，(2)がともに成り立つと・・・

　国立 群馬大学 2012年 第5問

p＞0は定数とし，f(x)=x3-pxとする．f(x)はx=aで極小値mを，x=bで極大値Mをとるとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)a,b,m,Mをそれぞれpを用いて表せ．
(2)直線y=mおよびy=Mと曲線y=f(x)との(a,m)，(b,M)以外での交点をそれぞれ(c,m)，(d,M)とする．このときc,dをそれぞれpを用いて表せ．

　私立 早稲田大学 2012年 第5問

kを実数とする．3次関数
f(x)=-x3+kx2+kx+1
がx=αで極小値をとり，x=βで極大値をとる．3点A(α,f(α))，B(β,f(β))，C(β,f(α))がAC=BCを満たすとき，
α+β=\frac{[テ]}{3}k,αβ=\frac{[ト]}{3}k
である．したがって，
k=\frac{[ナ]±[ニ]\sqrt{[ヌ]}}{2}
となる．ただし，[ニ]は自然数，[ヌ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．