「極小値」について

　私立 慶應義塾大学 2012年 第4問

tを実数の定数として，xの3次関数
f(x)=1/3x3-2tx2+(4t-4^{-t})x
を考える．f(x)はx=αにおいて極大値を，x=βにおいて極小値をとるとする．
(1)α,βをtのなるべく簡単な式で表せ．
(2)α,βがαβ=1を満たすとき
t=1/2{log2([(a)]+\sqrt{[(b)]})-[(c)]}
である．(a),(b),(c)にあてはまる1桁の自然数を求めよ．
(3)α,βがβ-α≧12を満た・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第5問

a＞0とし，xの3次関数f(x)を
f(x)=x3-5ax2+7a2x
と定める．また，t≧0に対し，曲線y=f(x)とx軸および2直線x=t，x=t+1で囲まれた部分の面積をS(t)で表す．
(1)S(0)=[ト]である．
(2)f(x)はx=[ナ]で極小値をとる．曲線y=f(x)上にあり，xの値[ナ]に対応する点をPとする．aの値が変化するとき，点Pの軌跡は曲線y=[ニ](x＞0)である．
(3)S(t)=S(0)を満たす正の実数tが存在するようなaの値の範囲を不等式で表すと・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第3問

実数係数のxの多項式で表された関数f(x)は，導関数f^{\prime}(x)がすべての実数xに対して
f´(x)＞0をみたし，かつ，f´(x)は極大値をもつとする．実数sに対して，点(s,f(s))における曲線y=f(x)の接線とx軸との交点のx座標をsの関数としてg(s)と表す．
(1)導関数g´(s)を求めよ．
(2)関数g(s)は極大値と極小値をもつことを示せ．

　私立 法政大学 2012年 第3問

関数y=x3-(a+2)x+a2-2aとそのグラフCaに対して，次の問いに答えよ．ただし，a≧1とする．
(1)Caと直線x=1との交点の座標を(1,t)とするとき，aの変化に応じてtのとり得る値の範囲を求めよ．
(2)この関数がx=√2で極値をとるとき，aの値および極大値，極小値を求めよ．
(3)a=1としたときのグラフをC1とする．2つのグラフCaとC1およびy軸とで囲まれた図形の面積が4となるとき，aの値を求めよ．

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)方程式x3-4x2+ax+b=0の1つの解が1-2iであるとき，実数解は[ア]であり，a=[イ]，b=[ウ]である．ただし，定数a,bは実数とし，iは虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて2回振り，最初に出た目がa，次に出た目がbならば座標平面上に直線ℓ:y=ax-bを描く．この試行において，直線ℓが放物線y=x2と相異なる2点で交わる確率は[エ]である．
(3)不等式x2+y2+6x+4y-12≦0の表す領域の面積は\ka・・・

　私立 立教大学 2012年 第2問

関数f(x)=x3+x2-16x+3が定める座標平面上の曲線をCとする．この曲線がy軸と交わる点をPとし，f(x)はx=aにおいて極小値をとるとする．x=aに対応する曲線上の点をQ(a,f(a))とする．このとき，次の問(1)～(3)に答えよ．
(1)点Qの座標を求めよ．
(2)点RをR(0,f(a))で定める．△PQRをy軸を中心にして回転させて得られる円錐Mとそれに内接する円柱Nを考える．円柱Nの底面は，円柱Mの底面に含まれており，半径が・・・

　私立 自治医科大学 2012年 第22問

関数f(x)=x3-9x2+3xは，x=aで極大値をとり，x=bで極小値をとるものとする（a,bは実数）．(a+b)の値を求めよ．

　私立 北海学園大学 2012年 第4問

3次関数f(x)=x3+ax2+bxは，x=2で極大値20をとる．ただし，aとbは定数とする．
(1)aとbの値をそれぞれ求めよ．また，f(x)の極小値を求めよ．
(2)f(x)の定義域を1≦x≦5とするとき，f(x)の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)2曲線y=f(x)，y=x3+27，および2直線x=1，x=5で囲まれた図形の面積を求めよ．

　私立 南山大学 2012年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)関数f(θ)=sin2θ-√3cosθ+2(0≦θ≦π)は，θ=[ア]で最大値[イ]をとる．
(2)実数x,yが2x+3y+1=0を満たすとき，4x+8yはx=[ウ]で最小値[エ]をとる．
(3)実数aに対して，3次方程式9x3-3x2+ax-1=0の1つの解が1/3のとき，a=[オ]である．また，この方程式の1/3以外の解をα,βとするとき，\al・・・

　私立 南山大学 2012年 第2問

a,bを正の定数とし，関数f(x)=2x3-3ax2と座標平面上の2つの曲線C1:y=f(x)，C2:y=f(x)+bを考える．
(1)f(x)の極大値と極小値を求めよ．
(2)区間0≦x≦5におけるf(x)の最小値をaで表せ．
(3)a=1,b=5として，同一平面上にC1とC2を図示せよ．
(4)1つの直線がC1，C2の両方の接線であるとき，その直線をC1，C2の共通接線という．a=1のとき，C1とC2に，傾き12の共通接線があるようにbの値を定めよ．