「極限」について

　国立 東京大学 2015年 第6問

nを正の整数とする．以下の問いに答えよ．
(1)関数g(x)を次のように定める．
g(x)={\begin{array}{ll}
\frac{cos(πx)+1}{2}&(|x|≦1　のとき　)\
0&(|x|＞1　のとき　)
\end{array}.
f(x)を連続な関数とし，p,qを実数とする．|x|≦1/nをみたすxに対してp≦f(x)≦qが成り立つとき，次の不等式を示せ．
p≦n∫_{-1}1g(nx)f(x)dx≦q
(2)関数h(x)を次のように定め・・・

　国立 大阪大学 2015年 第1問

自然数nに対して関数fn(x)を
fn(x)=\frac{x}{n(1+x)}log(1+x/n)(x≧0)
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)∫0nfn(x)dx≦∫01log(1+x)dxを示せ．
(2)数列{In}を
In=∫0nfn(x)dx
で定める．0≦x≦1のときlog(1+x)≦log2であることを用いて数列{In}が収束することを示し，その極限値を求めよ．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0であることは・・・

　国立 旭川医科大学 2015年 第2問

nを正の整数とする．2nπ≦x≦(2n+1)πの範囲で関数f(x)=xsinxを考える．関数f(x)が極大値をとるxをanとし，曲線y=f(x)の変曲点を(bn,f(bn))とする．次の問いに答えよ．
(1)anとbnはそれぞれ唯1つあって，2nπ＜bn＜2nπ+π/2＜an＜(2n+1)πを満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
(1)\lim_{n→∞}(an-2nπ)\qquad(2)\lim_{n→∞}(bn-2nπ)\qquad(3)\lim_{n→∞}f(bn)
(3)曲線y=f・・・

　国立 金沢大学 2015年 第3問

関数y=log3xとその逆関数y=3xのグラフが，直線y=-x+sと交わる点をそれぞれP(t,log3t)，Q(u,3u)とする．次の問いに答えよ．
(1)線分PQの中点の座標は(s/2,s/2)であることを示せ．
(2)s,t,uはs=t+u，u=log3tを満たすことを示せ．
(3)\lim_{t→3}\frac{su-k}{t-3}が有限な値となるように，定数kの値を定め，その極限値を求めよ．

　国立 金沢大学 2015年 第4問

a＞1とする．無限等比級数
a+ax(1-ax)+ax2(1-ax)2+ax3(1-ax)3+・・・
が収束するとき，その和をS(x)とする．次の問いに答えよ．
(1)この無限等比級数が収束するような実数xの値の範囲を求めよ．また，そのときのS(x)を求めよ．
(2)xが(1)で求めた範囲を動くとき，S(x)のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)I(a)=∫0^{1/a}S(x)dxとおくとき，極限値\lim_{a→∞}I(a)を求めよ．

　国立 岡山大学 2015年 第3問

自然数n=1,2,3,・・・に対して，関数fn(x)=x^{n+1}(1-x)を考える．
(1)曲線y=fn(x)上の点(an,fn(an))における接線が原点を通るとき，anをnの式で表せ．ただし，an＞0とする．
(2)0≦x≦1の範囲で，曲線y=fn(x)とx軸とで囲まれた図形の面積をBnとする．また，(1)で求めたanに対して，0≦x≦anの範囲で，曲線y=fn(x)，x軸，および直線x=anで囲まれた図形の面積をCnとする．BnおよびCnをnの式で表せ．
(3)(2)で求めたBnおよび・・・

　国立 名古屋工業大学 2015年 第2問

2つの関数
f(x)=\frac{2}{2x+3},g(x)=\frac{2x+1}{-x+2}
がある．
(1)関数g(x)の逆関数g^{-1}(x)を求めよ．
(2)合成関数g^{-1}(f(g(x)))を求めよ．
(3)実数cが無理数であるとき，f(c)は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
a1=g(√2),a_{n+1}=f(an)(n=1,2,3,・・・)
(5)(4)で定められた数列{an}の極限\lim_{n→∞}anを求めよ．

　国立 東北大学 2015年 第4問

a＞0を実数とする．n=1,2,3,・・・に対し，座標平面の3点
(2nπ,0),((2n+1/2)π,\frac{1}{{{(2n+1/2)π}}a}),((2n+1)π,0)
を頂点とする三角形の面積をAnとし，
Bn=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sinx}{xa}dx,\qquadCn=∫_{2nπ}^{(2n+1)π}\frac{sin2x}{xa}dx
とおく．
(1)n=1,2,3,・・・に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\frac{2}{・・・

　国立 新潟大学 2015年 第5問

自然数nに対して，関数fn(x)を次のように定める．
\begin{array}{ll}
f1(x)=1-\frac{x2}{2}\phantom{\frac{[]}{2}}&\
fn(x)=∫0xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n　が偶数のとき　)\
fn(x)=1-∫0xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n　が　3　以上の奇数のとき　)
\end{array}
次の問いに答えよ．ただし必要があれば，0＜x≦1のときx-\frac{x3}{3!}＜sinx＜xが成り立つことを用いてよい．
\mo・・・

　国立 東京工業大学 2015年 第1問

数列{an}を
a1=5,a_{n+1}=\frac{4an-9}{an-2}(n=1,2,3,・・・)
で定める．また数列{bn}を
bn=\frac{a1+2a2+・・・+nan}{1+2+・・・+n}(n=1,2,3,・・・)
と定める．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)すべてのnに対して，不等式bn≦3+\frac{4}{n+1}が成り立つことを示せ．
(3)極限値\lim_{n→∞}bnを求めよ．