「極限」について

　公立 首都大学東京 2013年 第3問

原点をOとする座標平面で，関数y=\sqrt{x2-1}(x≧1)のグラフをCとする．また，t＞1を満たす実数tに対し，直線x+y=tとCとの交点をP，直線x+y=tとx軸との交点をQとする．以下の問いに答えなさい．
(1)線分PQの長さf(t)を求めなさい．
(2)次の極限値を求めなさい．
\lim_{n→∞}Σ_{k=1}nf(1+\frac{k(t-1)}{n})\frac{t-1}{√2n}
(3)線分OP，x軸およびCで囲まれる図形の面積をSとする．Sを用いて点\te・・・

　公立 富山県立大学 2013年 第3問

x≧0とする．関数f(x)=e^{-2x3}，g(x)=xe^{-x3}について，次の問いに答えよ．ただし，\lim_{x→∞}g(x)=0は証明なしに用いてよい．
(1)導関数f´(x)を求めよ．
(2)y=g(x)の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(3)a≧0とし，曲線y=g(x)とx軸および2直線x=a，x=a+1で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積をV(a)とする．このとき，極限値\lim_{a→∞}e^{2a3}V(a)を求めよ．
\end・・・

　国立 大阪大学 2012年 第1問

a＞0とする．C1を曲線x2+\frac{y2}{a2}=1，C2を直線y=2ax-3aとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点PがC1上を動き，点QがC2上を動くとき，線分PQの長さの最小値をf(a)とする．f(a)をaを用いて表せ．
(2)極限値\lim_{a→∞}f(a)を求めよ．

　国立 大阪大学 2012年 第5問

1個のさいころを3回続けて投げるとき，1回目に出る目をℓ，2回目に出る目をm，3回目に出る目をnで表すことにする．こ
のとき，以下の同いに答えよ．
(1)極限値
\lim_{x→-1}\frac{lx2+mx+n}{x+1}
が存在する確率を求めよ．
(2)関数
f(x)=\frac{lx2+mx+n}{x+1}
が，x＞-1の範囲で極値をとる確率を求めよ．

　国立 北海道大学 2012年 第3問

次の問に答えよ．
(1)x≧0のとき，x-\frac{x3}{6}≦sinx≦xを示せ．
(2)x≧0のとき，\frac{x3}{3}-\frac{x5}{30}≦∫0xtsintdt≦\frac{x3}{3}を示せ．
(3)極限値
\lim_{x→0}\frac{sinx-xcosx}{x3}
を求めよ．

　国立 九州大学 2012年 第4問

pとqはともに整数であるとする．2次方程式x2+px+q=0が実数解α,βを持ち，条件(|α|-1)(|β|-1)≠0をみたしているとする．このとき，数列{an}を
an=(αn-1)(βn-1)(n=1,2,・・・)
によって定義する．以下の問いに答えよ．
(1)a1,a2,a3は整数であることを示せ．
(2)(|α|-1)(|β|-1)＞0のとき，極限値\lim_{n→∞}|\frac{a_{n+1}}{an}|は整数であることを示せ．
(3)\l・・・

　国立 防衛医科大学校 2012年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)以下の条件(ア)，(イ)を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．
\mon[(ア)]13で割ると余りが2となる．
\mon[(イ)]11で割ると商が奇数，余りが3となる．
(2)正六角形ABCDEFの辺CDの中点をM，CEとAMの交点をNとする．このとき，△NEAの面積は△NCMの面積の何倍となるか．
(3)極限値\lim_{n→\・・・

　国立 防衛医科大学校 2012年 第2問

座標平面上の点B(0,1)を中心とする半径1の円をC0，a＞0とし，点A(a,0)を通りC0に接する2直線のうちx軸でない方をℓとする．また，C0，x軸，ℓによって囲まれる領域(境界も含む)の内部にあって，C0，x軸，ℓに接する円をC1，C1の半径をrとする．さらに，C0，C1，x軸によって囲まれる領域(境界を含む)の内部にあって，C0，C1，x軸に接する円をC2，C2の半径をsとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)次の問いに答えよ．
\mon[・・・

　国立 防衛医科大学校 2012年 第4問

n,rはn≧rを満たす正の整数であるとし，x,yともに0以上n以下の整数であるような座標平面上の点(x,y)の集合をSとする．また，曲線x2+y2=r2(x≧0,y≧0)，x軸，y軸によって囲まれる領域(境界を含む)をDとする．ここで，Sからランダムに1点を選ぶ試行を考える．このとき，以下の問に答えよ．
(1)n=10,r=5のとき，選ばれた点がD内にある確率はいくらか．
(2)[x]はxを超えない最大の整数を表す記号である．直線x=t上の点でDに含まれるSの要素の個・・・

　国立 岩手大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)2次不等式x2+(a-3)x+a＞0がすべての実数xについて成り立つように，実数aの値の範囲を求めよ．
(2)半径1の円に内接する正二十四角形の面積を求めよ．
(3)次の極限値を求めよ．
\lim_{n→∞}\frac{1}{n2}(e^{1/n}+2e^{2/n}+3e^{3/n}+・・・+ne^{n/n})