「極限」について

　国立 東京工業大学 2015年 第4問

xy平面上を運動する点Pの時刻t(t＞0)における座標(x,y)が
x=t2cost,y=t2sint
で表されている．原点をOとし，時刻tにおけるPの速度ベクトルをベクトルvとする．
(1)ベクトルOPとベクトルvのなす角をθ(t)とするとき，極限値\lim_{t→∞}θ(t)を求めよ．
(2)ベクトルvがy軸に平行になるようなt(t＞0)のうち，最も小さいものをt1，次に小さいものをt2とする．このとき，不等式t2-t1＜πを示せ・・・

　国立 徳島大学 2015年 第3問

cを実数とする．数列{an}は次を満たす．
a1=1,a_{n+1}=\frac{{an}2+cn-4}{3n}(n=1,2,3,・・・)
(1)a2,a3をcを用いて表せ．
(2)a1+a3≦2a2のとき，不等式an≧3(n=3,4,5,・・・)を示せ．
(3)a1+a3=2a2のとき，極限\lim_{n→∞}anを求めよ．

　国立 弘前大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦1/2のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
-x2-x≦log(1-x)≦-x
(2)数列{an}を次によって定める．
\begin{array}{rcl}
a1&=&(1-\frac{1}{2・12})\
a2&=&(1-\frac{1}{2・22})(1-\frac{2}{2・22})\phantom{\frac{[]}{2}}\
&\vdots&\
an&=&(1-\frac{1}{2n2}・・・

　国立 山梨大学 2015年 第5問

点Oを原点とする座標平面上において，点P(-6,0)をとる．また，曲線
x=3cosθ,y=3sinθ(0≦θ≦π)
をC1とする．曲線C2,C3,・・・,Cn,・・・を次のように順次定義する．
「点Qが曲線Cn上を動くとき，線分PQを1:2に内分する点Rのなす曲線をC_{n+1}とする．」
また，各自然数nに対して，点Pを通るx軸と異なる直線が曲線Cnと接するとき，その接点をAnとする．次に，・・・

　国立 滋賀医科大学 2015年 第3問

aを0＜a＜π/2をみたす定数とし，方程式
x(1-cosx)=sin(x+a)
を考える．
(1)nを正の整数とするとき，上の方程式は2nπ＜x＜2nπ+π/2の範囲でただ1つの解をもつことを示せ．
(2)(1)の解をxnとおく．極限\lim_{n→∞}(xn-2nπ)を求めよ．
(3)極限\lim_{n→∞}√n(xn-2nπ)を求めよ．ただし，\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1を用いてよい．

　国立 三重大学 2015年 第4問

実数xに対し
an(x)=(\frac{-x2+8x-19}{x2-6x+5})n(n=1,2,3,・・・)
とおく．ただしxは1でも5でもないとする．以下の問いに答えよ．
(1)\lim_{n→∞}an(x)が収束するxの範囲と，そのときの極限値を求めよ．
(2)∫23a1(x)dxを求めよ．

　国立 茨城大学 2015年 第1問

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，eは自然対数の底である．
(1)関数f(x)=x2\sqrt{1+logx}のx=e3における微分係数f´(e3)を求めよ．
(2)0≦x≦πの範囲において，2つの曲線y=sinxとy=sinx/2で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)極限\lim_{x→2}\frac{1}{x3-8}∫2xt22^{t2}dtを求めよ．

　私立 早稲田大学 2015年 第4問

Nを3以上の自然数とする．1からNまでの数字が書かれたN枚のカードを用意し，AとBの二人で次のようなゲームを行う．まずAは，1からNまでの数のうちから一つ選びそれをKとし，その数はBに知らせずにおく．その後，以下の試行を何度も繰り返す．
BはN枚のカードから無作為に一枚引いてAにその数を伝え，Aは引かれた数字がKより大きければ「上」，K以下であれば「以下」とBに答え，Bはその答からKの範囲を絞り込む．引・・・

　私立 自治医科大学 2015年 第20問

\lim_{n→∞}{\sqrt{(n+2)(n+3)}-\sqrt{(n-2)(n-3)}}=aとする．極限値aを求めよ．

　私立 東京理科大学 2015年 第3問

以下の問いに答えよ．（nは自然数とする．）
(1)x=atanθとおくことにより，定積分
∫0a\frac{dx}{a2+x2}(a＞0)
を求めよ．
(2)極限値
\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^{2n}\frac{n}{4n2+k2}
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．
(i)実数x≧0に対して
\frac{1}{1+x2}-x^{2n+2}≦1+Σ_{k=1}n(-x2)k≦\frac{1}{1+x2}+x^{2n+2}
を示せ．
(ii)数列{an}を
an=Σ_{k=0}n\frac{(-1)k}{2・・・