「極限」について

　国立 新潟大学 2014年 第5問

自然数nに対して，an=∫01\frac{x2+(-x2)^{n+1}}{1+x2}dxとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対して，不等式
|∫01\frac{x2|{1+x2}dx-an}≦\frac{1}{2n+3}
が成り立つことを示せ．
(2)定積分∫01\frac{x2}{1+x2}dxを求めよ．
(3)自然数nに対して，an=Σ_{k=1}n\frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}となることを示せ．
(4)極限値\displayst・・・

　国立 名古屋工業大学 2014年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)r≠1のときSn=r+2r2+3r3+・・・+nrnを求めよ．
(2)x＞0に対して
fn(x)=e^{-x}+2e^{-2x}+3e^{-3x}+・・・+ne^{-nx}
とおく．極限f(x)=\lim_{n→∞}fn(x)を求めよ．ただし\lim_{t→∞}te^{-t}=0であることを用いてもよい．
(3)(2)で得られた関数f(x)について，不定積分∫f(x)dxを求めよ．
(4)(2)で得られた関数f(x)について，定積分∫_{log2}^{log3}xf(x)dx・・・

　国立 岩手大学 2014年 第6問

関数f(x)=\frac{logx}{√x}(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数，eは自然対数の底とする．
(1)極限\lim_{x→+0}f(x)を求めよ．
(2)y=f(x)の極値を求めよ．
(3)曲線y=|f(x)|とx軸および2直線x=1/e，x=eで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 岩手大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=-2sin2x+2cos2x+3の最大値と最小値を求めよ．ただし，0≦x≦π/2とする．
(2)\lim_{x→1}\frac{a\sqrt{x+3}-8}{x-1}が有限な値になるように定数aの値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線y=xに関する対称移動の1次変換をfとする．1次変換gが点(2,4)を点(4,6)に移し，合成変換f\circgが点(2,2)を点(-12,4)に移すとき，gを表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\i・・・

　国立 弘前大学 2014年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
2&-2\
-1&3
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)4P+Q=AとP+Q=Eを満たす2次正方行列P,Qを求めよ．
(2)(1)で求めたP,Qに対して，PQ,QPを求めよ．
(3)自然数nに対して，Anを求めよ．
(4)Anの逆行列をBn=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array})とする．極限値\lim_{n→∞}an，・・・

　国立 弘前大学 2014年 第4問

数列{an},{bn}を，
{\begin{array}{lll}
a1=1,&a_{n+1}=\sqrt{2bn+1}&(n=1,2,3,・・・)\
b1=3,&b_{n+1}=\sqrt{2an+1}&(n=1,2,3,・・・)\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
と定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)α=1+√2とする．自然数nに対して，不等式|a_{n+1|-α}≦(\frac{2}{1+α})|bn-α|が成り立つことを示せ．
(2)極限値\lim_{n→∞}an，\・・・

　国立 宮崎大学 2014年 第4問

2つの数列{an}と{bn}が，a1=1，b1=1および
{\begin{array}{ll}
a_{n+1}=2an+6bn&(n=1,2,3,・・・)\
b_{n+1}=2an+3bn&(n=1,2,3,・・・)
\end{array}.
で定められているとき，次の各問に答えよ．
(1)a_{n+2}-αa_{n+1}=β(a_{n+1}-αan)(n=1,2,3,・・・)を満たす定数α,βの組を2組求めよ．
(2)anを，nを用いて表せ．
(3)極限値\lim_{n→∞}\frac{an}{bn}を求めよ．

　国立 福井大学 2014年 第2問

1から7までの数を1つずつ書いた7個の玉が，袋の中に入っている．袋から玉を1個取り出し，書かれている数を記録して袋に戻す．この試行をn回繰り返して得られるn個の数の和が4の倍数となる確率をpnとする．ただし，nは正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)p1とp2を求めよ．
(2)p_{n+1}をpnの式で表せ．
(3)pnを求めよ．また極限値\lim_{n→∞}pnを求めよ．

　国立 浜松医科大学 2014年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)rは自然数，nはrより大きい整数とする．2項係数\comb{k+r}{r}(k=0,1,・・・,n-r)の次の等式を示せ．
Σ_{k=0}^{n-r}\comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1}
以下整数n(n≧2)に対し，次の確率分布に従う確率変数Xを考える．
P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}}(k=0,1,・・・,n-1)
(2)Xの期待値\mun=E(X)を求めよ．また，P(X≧m)≧1/2を満たす最大の整数mをMnとするとき，極限値\d・・・

　国立 山口大学 2014年 第2問

座標平面において，方程式\frac{x2}{9}-\frac{y2}{4}=1が表す双曲線Cと点P(a,0)がある．ただし，a＞3とする．点Pを通りy軸に平行な直線と双曲線Cとの交点の一つである点Q(a,b)をとる．ただし，b＞0とする．さらに，点Qにおける双曲線Cの接線ℓとx軸との交点をR(c,0)とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)aを用いてbを表しなさい．
(2)aを用いて接線ℓの方程式を表しなさい．
(3)aを用いてcを表しなさい．
\mon・・・