「極限」について

　国立 山口大学 2014年 第1問

一般項がan=tan\frac{π}{2^{n+1}}で与えられる数列{an}について，次の問いに答えなさい．
(1)正接の2倍角の公式tan2θ=\frac{2tanθ}{1-tan2θ}を用いて，数列{an}の漸化式を求めなさい．
(2)極限値\lim_{n→∞}\frac{a_{n+1}}{an}を求めなさい．

　国立 茨城大学 2014年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)\frac{{(1+i)}3}{-2+3i}=a+biを満たす実数a,bを求めよ．ただし，iは虚数単位である．
(2)3つの行列の積(\begin{array}{cc}
2&1\
4&3
\end{array})(\begin{array}{c}
1\
4
\end{array})(\begin{array}{cc}
2&3
\end{array})を計算せよ．
(3)f(x)={(x+4)}^{5/6}{(3x+2)}^{4/3}とする．関数f(x)のx=0における微分係数f´(0)を求めよ．
(4)極限\lim_{n\to・・・

　国立 茨城大学 2014年 第3問

A,Eはそれぞれ行列(\begin{array}{cc}
2&4\
1&-1
\end{array})，(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を表す．以下の各問に答えよ．
(1)A(A+2E)=a1(A+2E)，A(A-3E)=b1(A-3E)となる数a1，b1を求めよ．
(2)各自然数nに対して
An(A+2E)=an(A+2E),An(A-3E)=bn(A-3E)
となる数an,bnを求めよ．
(3)各自然数nに対して，An=cnA+dnEとなる数cn,dnを求めよ．
(4)極限値\lim_{n→∞}\frac{d・・・

　国立 宮崎大学 2014年 第5問

座標平面において，x座標とy座標がともに整数である点を格子点という．nを自然数とし，放物線y=x2，直線x=nおよびx軸で囲まれた図形をSnとする．Snの境界上にある格子点の個数をanとし，Snの境界を除いた内部にある格子点の個数をbnとするとき，次の各問に答えよ．
(1)anを，nを用いて表せ．
(2)bnを，nを用いて表せ．
(3)Snの面積をcnとするとき，極限値\lim_{n→∞}1/n(\frac{an}{2}+bn-cn)を求めよ．

　国立 愛媛大学 2014年 第4問

a,bは，0＜b＜aを満たす実数とする．曲線y=ex上の点(0,1)における接線ℓ1の方程式をy=f(x)，点(a,ea)における接線ℓ2の方程式をy=g(x)とおく．また，ℓ1とℓ2の交点のx座標をp(a)とする．連立不等式
0≦x≦b,f(x)≦y≦ex
の表す領域の面積をS1，連立不等式
b≦x≦a,g(x)≦y≦ex
の表す領域の面積をS2とし，R=e^{-b}S2とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数kに対して\lim_・・・

　国立 愛媛大学 2014年 第3問

a,bは，0＜b＜aを満たす実数とする．曲線y=ex上の点(0,1)における接線ℓ1の方程式をy=f(x)，点(a,ea)における接線ℓ2の方程式をy=g(x)とおく．また，ℓ1とℓ2の交点のx座標をp(a)とする．連立不等式
0≦x≦b,f(x)≦y≦ex
の表す領域の面積をS1，連立不等式
b≦x≦a,g(x)≦y≦ex
の表す領域の面積をS2とし，R=e^{-b}S2とおく．このとき，次の問いに答えよ．必要ならば，すべての自然数kに対して\lim_・・・

　国立 電気通信大学 2014年 第1問

関数f(x)=\frac{ex-2}{ex+2}について，以下の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)極限\lim_{x→∞}f(x)，\lim_{x→-∞}f(x)をそれぞれ求めよ．
(2)導関数f´(x)および第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(3)曲線y=f(x)をCとするとき，Cの変曲点の座標を求めよ．
(4)曲線Cの変曲点における接線ℓの方程式を求めよ．
(5)曲線C，y軸および接線ℓで囲まれた図形の面積Sを求めよ．
\end{enu・・・

　国立 電気通信大学 2014年 第3問

次の条件によって定められる数列{an}を考える．
a1=0,a_{n+1}=\frac{2n(n+1)}{3n-an}(n=1,2,3,・・・)
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式an＜nを数学的帰納法によって証明せよ．
(2)数列{bn}をbn=\frac{n}{n-an}(n=1,2,3,・・・)で定める．b_{n+1}をbnを用いて表せ．
(3)数列{bn}の一般項を求めよ．
(4)数列{an}の一般項を求めよ．
(5)極限\lim_{n→∞}\frac{an}{n}および\li・・・

　国立 愛媛大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)すべての実数xに対して
f(x)=sinπx+∫01tf(t)dt
が成り立つような関数f(x)を求めよ．
(2)次の極限値を求めよ．
\lim_{θ→0}\frac{θ3}{tanθ-sinθ}
(3)次の極限値を求めよ．
\lim_{n→∞}Σ_{k=n+1}^{2n}1/k
(4)関数f(x)=|x|(ex+a)はx=0において微分可能であるとする．このとき，定数aの値を求めよ．

　私立 産業医科大学 2014年 第2問

行列A=1/3(\begin{array}{cc}
2&1\
1&2
\end{array})について，次の問いに答えなさい．
(1)自然数nについて，(\begin{array}{c}
pn\
qn
\end{array})=An(\begin{array}{c}
√2\
√3
\end{array})とするとき，極限\lim_{n→∞}(pnqn)を求めなさい．
(2)行列Aで表される1次変換によってそれ自身へ移される直線をすべて求めなさい．