「極限」について

　私立 大阪工業大学 2014年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)極限値\lim_{α→0}\frac{1-cosα}{α2}を求めよ．
(2)αを0でない実数とするとき，定積分∫02(x+1)cos(αx)dxを求めよ．
(3)(2)で求めた定積分の値をI(α)とするとき，極限値\lim_{α→0}I(α)を求めよ．

　私立 学習院大学 2014年 第4問

正の実数aに対してf(a)=∫_{-a}a\frac{ex}{e^{2x}+3ex+2}dxとおく．
(1)f(a)を求めよ．
(2)極限\lim_{a→∞}f(a)を求めよ．

　私立 北里大学 2014年 第1問

つぎの[]にあてはまる答を記せ．
(1)空間に4点A(5,1,3)，B(4,4,3)，C(2,3,5)，D(4,1,3)がある．
(i)ベクトルDAとベクトルDBのなす角をθとおくとき，θ=[ア]である．ただし，0°≦θ≦{180}°とする．
(ii)四面体ABCDの体積は[イ]である．
(2)aを実数とする．xについての2次方程式x2-2xlog2{(a+1)(a-5)}+4=0の・・・

　私立 北里大学 2014年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
1/3&7\
0&3
\end{array})に対し，
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array}),An(\begin{array}{c}
2\
5
\end{array})=(\begin{array}{c}
pn\
qn
\end{array})(n=1,2,3,・・・)
とおく．以下の問に答えよ．
(1)b_{n+1}=b1an+d1bn,b_{n+1}=a1bn+b1dn(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ．
(2)An(n=1,2,・・・

　私立 獨協医科大学 2014年 第4問

行列A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})で表される1次変換fについて考える．点P0の座標を(1,0)とし，nを正の整数とするとき，fによって点P_{n-1}が移される点をPnとする．また，Σ_{k=0}^{n-1}\overrightarrow{OPk}=\overrightarrow{OQn}となる点Qnの座標を(xn,yn)とし，n→∞のときにxn,ynがともに収束する場合の点Qnの極限値\・・・

　公立 首都大学東京 2014年 第3問

xy平面において，x軸の正の部分に中心Aをもつ半径1の円Cが，直線y=xtant(0＜t＜π/2)に点Pで接している．以下の問いに答えなさい．
(1)点Aと点Pのx座標を求めなさい．
(2)x軸の正の部分と円Cと直線y=xtantで囲まれる部分をx軸のまわりに回転した立体の体積V(t)を求めなさい．
(3)極限値\lim_{t→+0}tV(t)を求めなさい．

　公立 大阪府立大学 2014年 第3問

x≧0で定義された関数
fn(x)=xa-x^{a+1/n}
を考える．ただし，aは正の実数とし，nは自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)区間[0,1]において，fn(x)の最大値を与えるxの値をxnとおく．xnを求めよ．
(2)極限\lim_{n→∞}xnを求めよ．

　公立 福島県立医科大学 2014年 第1問

以下の各問いに答えよ．
(1)aは実数とする．極限\lim_{x→+0}∫x2tadtを調べよ．
(2)α,β(0＜α≦β＜π/2)がtanαtanβ=1を満たすとき，α+β=π/2であることを示せ．
(3)点P(x,y)が楕円\frac{x2}{4}+y2=1の上を動くとき，3x2-16xy-12y2の値が最大になる点Pの座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを2回振り，1回目に出た・・・

　公立 富山県立大学 2014年 第3問

a,bは定数とする．関数f(x)=e^{-x}sinx，g(x)=e^{-x}(acosx+bsinx)について，次の問いに答えよ．
(1)すべてのxに対してd/dxg(x)=f(x)となるようにa,bの値を定めよ．
(2)(2k-1)π≦x≦2kπ(k=1,2,3,・・・)の範囲で，曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積Skをkの式で表せ．
(3)極限\lim_{n→∞}Σ_{k=1}nSkを求めよ．

　公立 富山県立大学 2014年 第4問

αは実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
1&-√3\
√3&1
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
cosα&-sinα\
sinα&cosα
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})と表すとき，r,θの値を求めよ．ただし，r＞0，0＜θ＜πとする．
(2)Bn=(\begin{array}{cc}
cosnα&-\・・・