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次の問いに答えよ.
(1)極限値\lim_{α→0}\frac{1-cosα}{α2}を求めよ.
(2)αを0でない実数とするとき,定積分∫02(x+1)cos(αx)dxを求めよ.
(3)(2)で求めた定積分の値をI(α)とするとき,極限値\lim_{α→0}I(α)を求めよ.
私立 学習院大学 2014年 第4問正の実数aに対してf(a)=∫_{-a}a\frac{ex}{e^{2x}+3ex+2}dxとおく.
(1)f(a)を求めよ.
(2)極限\lim_{a→∞}f(a)を求めよ.
私立 北里大学 2014年 第1問つぎの[]にあてはまる答を記せ.
(1)空間に4点A(5,1,3),B(4,4,3),C(2,3,5),D(4,1,3)がある.
(i)ベクトルDAとベクトルDBのなす角をθとおくとき,θ=[ア]である.ただし,0°≦θ≦{180}°とする.
(ii)四面体ABCDの体積は[イ]である.
(2)aを実数とする.xについての2次方程式x2-2xlog2{(a+1)(a-5)}+4=0の・・・
私立 北里大学 2014年 第2問行列A=(\begin{array}{cc}
1/3&7\
0&3
\end{array})に対し,
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array}),An(\begin{array}{c}
2\
5
\end{array})=(\begin{array}{c}
pn\
qn
\end{array})(n=1,2,3,・・・)
とおく.以下の問に答えよ.
(1)b_{n+1}=b1an+d1bn,b_{n+1}=a1bn+b1dn(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ.
(2)An(n=1,2,・・・
私立 獨協医科大学 2014年 第4問行列A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})で表される1次変換fについて考える.点P0の座標を(1,0)とし,nを正の整数とするとき,fによって点P_{n-1}が移される点をPnとする.また,Σ_{k=0}^{n-1}\overrightarrow{OPk}=\overrightarrow{OQn}となる点Qnの座標を(xn,yn)とし,n→∞のときにxn,ynがともに収束する場合の点Qnの極限値\・・・
公立 首都大学東京 2014年 第3問xy平面において,x軸の正の部分に中心Aをもつ半径1の円Cが,直線y=xtant(0<t<π/2)に点Pで接している.以下の問いに答えなさい.
(1)点Aと点Pのx座標を求めなさい.
(2)x軸の正の部分と円Cと直線y=xtantで囲まれる部分をx軸のまわりに回転した立体の体積V(t)を求めなさい.
(3)極限値\lim_{t→+0}tV(t)を求めなさい.
公立 大阪府立大学 2014年 第3問x≧0で定義された関数
fn(x)=xa-x^{a+1/n}
を考える.ただし,aは正の実数とし,nは自然数とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)区間[0,1]において,fn(x)の最大値を与えるxの値をxnとおく.xnを求めよ.
(2)極限\lim_{n→∞}xnを求めよ.
公立 福島県立医科大学 2014年 第1問以下の各問いに答えよ.
(1)aは実数とする.極限\lim_{x→+0}∫x2tadtを調べよ.
(2)α,β(0<α≦β<π/2)がtanαtanβ=1を満たすとき,α+β=π/2であることを示せ.
(3)点P(x,y)が楕円\frac{x2}{4}+y2=1の上を動くとき,3x2-16xy-12y2の値が最大になる点Pの座標を求めよ.
(4)公正なサイコロを2回振り,1回目に出た・・・
公立 富山県立大学 2014年 第3問a,bは定数とする.関数f(x)=e^{-x}sinx,g(x)=e^{-x}(acosx+bsinx)について,次の問いに答えよ.
(1)すべてのxに対してd/dxg(x)=f(x)となるようにa,bの値を定めよ.
(2)(2k-1)π≦x≦2kπ(k=1,2,3,・・・)の範囲で,曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積Skをkの式で表せ.
(3)極限\lim_{n→∞}Σ_{k=1}nSkを求めよ.
公立 富山県立大学 2014年 第4問αは実数とする.行列A=(\begin{array}{cc}
1&-√3\
√3&1
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
cosα&-sinα\
sinα&cosα
\end{array})について,次の問いに答えよ.
(1)A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})と表すとき,r,θの値を求めよ.ただし,r>0,0<θ<πとする.
(2)Bn=(\begin{array}{cc}
cosnα&-\・・・