「極限」について

　公立 会津大学 2014年 第1問

次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(i)∫\frac{dx}{x(logx)2}=[イ]
(ii)∫_{6π}^{7π}xsinxdx=[ロ]
(iii)∫0^{π/2}cos2xcosxdx=[ハ]
(2)次の極限を求めよ．
\lim_{n→∞}(\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ]
(3)3x=5y=15^{6}をみたす実・・・

　公立 奈良県立医科大学 2014年 第8問

次の極限値を求めよ．
\lim_{n→∞}\frac{π}{n2}(cosπ/2n+2cos\frac{2π}{2n}+・・・+ncos\frac{nπ}{2n})

　国立 大阪大学 2013年 第1問

三角関数の極限に関する公式
\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1
を示すことにより，sinxの導関数がcosxであることを証明せよ．

　国立 信州大学 2013年 第5問

実数p,qと自然数nに対して
(\begin{array}{c}
xn\
yn
\end{array})=(\begin{array}{cc}
-5/2&2\
-1/2&0
\end{array})n(\begin{array}{c}
p\
q
\end{array})
とおく．
(1)\lim_{n→∞}xn=0かつ\lim_{n→∞}yn=0とする．このときpとqがみたす条件を求めよ．
(2)(p,q)≠(0,0)とする．極限\lim_{n→∞}\frac{・・・

　国立 信州大学 2013年 第7問

曲線C:y=exについて以下の問いに答えよ．
(1)C上の点P(p,ep)における接線ℓおよび法線nの方程式を求めよ．
(2)p＞0とする．Cとℓおよびy軸で囲まれる図形の面積をS(p)とする．またCとnおよびy軸で囲まれる図形の面積をT(p)とする．このとき極限\lim_{p→∞}\frac{pT(p)}{S(p)}を求めよ．

　国立 信州大学 2013年 第3問

0＜t＜1とする．xy平面上の曲線C1:y=tcosx(0≦x≦π/2)と曲線y=2sinx(0≦x≦π)について，次の問いに答えよ．
(1)2曲線C1,C2の交点のx座標をαとするとき，sinαとcosαをtを用いて表せ．
(2)2曲線C1,C2とy軸で囲まれた図形の面積をS(t)とする．また，2曲線C1,C2と，x軸上の2点(π/2,0)，(π,0)を結ぶ線分で囲まれた図形の面積をT(t)と・・・

　国立 金沢大学 2013年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
7/2&1/2\
1/2&7/2
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})に対して，次の問いに答えよ．
(1)実数x,y,u,vが，xA+yE=uA+vEを満たすならば，x=u,y=vであることを示せ．
(2)A=a1A+b1E,A2=a2A+b2Eとなる実数a1,b1,a2,b2を求めよ．
(3)n=1,2,3,・・・に対して，An=anA+bnEとなる実数a_・・・

　国立 筑波大学 2013年 第2問

nは自然数とする．
(1)1≦k≦nを満たす自然数kに対して
∫_{\frac{k-1}{2n}π}^{k/2nπ}sin2ntcostdt=(-1)^{k+1}\frac{2n}{4n2-1}(cosk/2nπ+cos\frac{k-1}{2n}π)
が成り立つことを示せ．
(2)媒介変数tによって
x=sint,y=sin2nt(0≦t≦π)
と表される曲線Cnで囲まれた部分の面積Snを求めよ．ただし必要なら
Σ_{k=1}^{n-1}cosk/2nπ=1/2(\frac{1}{tan\display・・・

　国立 静岡大学 2013年 第3問

関数f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}に対して，曲線y=f(x)をCとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)極限値\lim_{x→∞}f(x)と\lim_{x→-∞}f(x)，および，f^{\prime\prime}(x)=0を満たすxの値を求めよ．
(2)曲線Cの概形をかけ．
(3)曲線Cについて，傾きが2の接線ℓの方程式を求めよ．
(4)曲線C，(3)で求めた接線ℓ，直線x=log√2によって囲まれた図形Dの面積を求めよ．
(5)(4)の図形Dをx軸・・・

　国立 愛知教育大学 2013年 第9問

次の極限値を求めよ．
\lim_{n→∞}Σ_{k=1}n\frac{1}{n+k}(log(n+k)-logn)