「極限」について

　国立 徳島大学 2013年 第1問

A=(\begin{array}{cc}
a&-a\
-b&b
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とし，nを自然数とする．また，
E+A+A2+・・・+An=(\begin{array}{cc}
pn&qn\
rn&sn
\end{array})
とおく．
(1)A2=cAとなる定数cをa,bを用いて表せ．
(2)行列Anをa,bおよびnを用いて表せ．
(3)a,bは正の数でa+b＜1を満たす．pnをa,bおよびnを用いて表せ．
(4)a=1/2,b=\fr・・・

　国立 電気通信大学 2013年 第2問

関数y=\frac{ex}{ex+e^{-x}}について以下の問いに答えよ．
(1)定積分I=∫_{-1}1ydxを求めよ．
以下では，nは自然数とする．
(2)In=1/n∫_{-n}nydxを求めよ．
(3)Jn=1/n∫_{-n}ny(1-y)dxを求めよ．
(4)Kn=1/n∫_{-n}ny2dxとおくとき，極限値\lim_{n→∞}Knを求めよ．
\end{e・・・

　国立 奈良女子大学 2013年 第2問

座標平面上に，直線y=4/3xとy軸の両方に接する円Cがある．その円Cの中心の座標を(a,b)とする．ただし，a＞0かつb＜0とする．次の問いに答えよ．
(1)bをaを用いて表せ．
(2)点(0,3)と点(a,b)を通る直線をℓとし，ℓとx軸との交点の座標を(t,0)とおく．このとき，tをaを用いて表せ．また，a→∞のときのtの極限値を求めよ．

　国立 奈良女子大学 2013年 第3問

nを正の整数とする．袋の中に，1から4nまでの数字が1つずつ書かれた4n枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この袋から，カードを1枚ずつ2回取り出す．ただし，取り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出された2枚のカードに書かれた数字の和が6n以下となる確率をPnとおく．次の問いに答えよ．
(1)P1,P2をそれぞれ求めよ．
(2)Pnをnを用いて表せ．また，極限\lim_{n→∞}Pnを求めよ．

　国立 山形大学 2013年 第3問

nを2以上の自然数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)∫1nlogxdxを求めよ．
(2)関数y=logxの定積分を利用して，次の不等式を証明せよ．
(n-1)!≦nne^{-n+1}≦n!
(3)極限値
\lim_{n→∞}\frac{log(n!)}{nlogn}
を求めよ．

　国立 群馬大学 2013年 第6問

下図のように，1から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列A1，A2，A3，・・・がある．正三角形An(n=1,2,3,・・・)の右下隅にある碁石の番号をanとし，An中のすべての碁石の番号の和をSnとする．
（例a1=3,a2=8,a3=16,S2=4+5+6+7+8+9=39）
（プレビューでは図は省略します）
(1)anの一般項を求めよ．
(2)Snの一般項を求めよ．
(3)\lim_{n→∞}\frac{1}{n5}Σ_{k=1}nk(Sk-3/2k)を，ある関数の定積・・・

　国立 防衛医科大学校 2013年 第3問

-∞＜x＜∞で定義される2つの関数f(x)=|cosx|sinx，g(x)=e^{-x}f(x)について，以下の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフを描け．ただし，xの範囲は，0≦x≦4πとせよ．
(2)すべてのxに対し，f(x)=f(x+T)を満たす正の数Tのうち，最小の値\omegaを求めよ．
(3)∫0^{π/2}g(x)dxを求めよ．
(4)極限値\lim_{n→∞}∫0^{n\omega}g(x)dxを求めよ．

　国立 防衛医科大学校 2013年 第4問

X1=(\begin{array}{cc}
1&2\
-2&1
\end{array})，X2=(\begin{array}{cc}
6&5\
1&3
\end{array})，
\begin{array}{r}
Xn=(\begin{array}{cc}
9/4&3/2\
-1/2&1/2
\end{array})X_{n-1}-(\begin{array}{cc}
5/4&3/2\
-1/2&-1/2
\end{array})X_{n-2}+(\begin・・・

　国立 愛媛大学 2013年 第1問

数列{an}を次のように定める．
a1=1,a2=4,a_{n+2}=-a_{n+1}+12an(n=1,2,3,・・・)
(1)bn=a_{n+1}-3an(n=1,2,3,・・・)とおく．数列{bn}の一般項を求めよ．
(2)cn=a_{n+1}+4an(n=1,2,3,・・・)とおく．数列{cn}の一般項を求めよ．
(3)極限値\lim_{n→∞}\frac{a_{n+1}}{an}を求めよ．

　国立 愛媛大学 2013年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)iを虚数単位とする．等式(1+i)^{14}=a+biを満たす実数a,bの値を求めよ．
(2)xの多項式x4-px+qが(x-1)2で割り切れるとき，定数p,qの値を求めよ．
(3)θが方程式cos2θ-2sinθ=47/50を満たすとき，sinθの値を求めよ．
(4)次の極限値を求めよ．
\lim_{x→0}\frac{(\sqrt{x2+x+4}-\sqrt{x2+4})sin2x}{x2}
(5)空間内に5点A，B，C，D，Eがあり，次の等式を満・・・