「極限」について

　国立 愛媛大学 2013年 第3問

数列{an}を次のように定める．
a1=1,a2=4,a_{n+2}=-a_{n+1}+12an(n=1,2,3,・・・)
(1)bn=a_{n+1}-3an(n=1,2,3,・・・)とおく．数列{bn}の一般項を求めよ．
(2)cn=a_{n+1}+4an(n=1,2,3,・・・)とおく．数列{cn}の一般項を求めよ．
(3)極限値\lim_{n→∞}\frac{a_{n+1}}{an}を求めよ．

　国立 鳥取大学 2013年 第4問

実数tの関数α(t),β(t)をα(t)=\frac{et+e^{-t}}{2}，β(t)=\frac{et-e^{-t}}{2}で定める．実数の定数pに対して点P(x,y)のx座標およびy座標を，複素数
z=\frac{ipα(t)+β(t)}{ipβ(t)+α(t)}
の実部および虚部でそれぞれ与える．ただしiは虚数単位とする．
(1){α(t)}2-{β(t)}2=1となることを示し，x,yをtの関数として表せ．
(2)点Pのx座標のt→∞およびt→-∞のと・・・

　私立 日本女子大学 2013年 第1問

下の図のように，F1を1辺の長さが1の正三角形とする．F1の3つの辺のそれぞれを3等分し3つの線分に分ける．この3つの線分の中央の線分に，その線分を1辺とする正三角形をF1の外側に追加して得られる多角形をF2とする．次に，F2の12個の辺のそれぞれを3等分し3つの線分に分ける．この3つの線分の中央の線分に，その線分を1辺とする正三角形をF2の外側に追加して得られる多角形をF3とする．以下同様にして，F4,F5,F6,・・・を作るものとする．Fnの辺の個数をKn，周の長さをLn，・・・

　私立 津田塾大学 2013年 第1問

次の問に答えよ．
(1)極限値\lim_{x→0}\frac{x(e^{3x}-1)}{1-cosx}を求めよ．
(2)関数y=f(x)は0≦x≦3において連続で，f(x)＞0とする．曲線y=f(x)，x軸，および直線x=0，x=3により囲まれた図形をDとする．Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は6πであり，Dを直線y=-1のまわりに1回転してできる回転体の体積は13πである．Dの面積を求めよ．

　私立 東京都市大学 2013年 第4問

関数f(x)をf(x)=(2x-1)2e^{1/x}とおく．次の問に答えよ．
(1)関数y=e^{1/x}を微分せよ．
(2)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(3)極限\lim_{x→∞}f(x)，\lim_{x→+0}f(x)，\lim_{x→-0}f(x)を調べよ．
(4)関数y=f(x)の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．

　私立 日本医科大学 2013年 第3問

次の各問いに答えよ．
(1)x≧1,k=0,1,2,・・・として
Ik(x)=∫\frac{(logx)k}{x2}dx
とおくとき，I0(x)を求め，I_{k+1}(x)をIk(x)を用いて表せ．またI4(x)を求めよ．
(2)x＞0で不等式logx≦3/ex^{1/3}が成り立つことを証明せよ．
(3)関数f(x)=\frac{(logx)2}{x}に関する以下の各問いに答えよ．
(i)y=f(x)(x≧1)の極値，極限\displ・・・

　私立 同志社大学 2013年 第3問

定数a(a＞1)に対して曲線y=ax，x軸およびy軸，直線x=1で囲まれた図形をSとし，曲線y=a^{2x}，曲線y=axおよび直線x=1で囲まれた図形をDとする．次の問いに答えよ．
(1)Sをx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積V(a)を求めよ．
(2)Dをx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積W(a)を求めよ．
(3)V(a)=W(a)となるaの値を求めよ．
(4)極限値\lim_{a→1+0}\frac{W(a)}{a-1}を求めよ．

　私立 産業医科大学 2013年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)100円，50円，10円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに2300円かかるとき，このお金による支払い方の総数は[]である．
(2)整式P(x)をx2-4x+3で割ったときの余りはx+1であり，x2-3x+2で割ったときの余りは3x-1である．P(x)をx3-6x2+11x-6で割ったときの余りは[]である．
(3)数列の極限\lim_{n→∞}\frac{Σ_{k=1}^{2n}(k+n)2}{Σ_{k=1}^{2n}k2}の値は\kakko・・・

　私立 青山学院大学 2013年 第5問

a＞1とする．関数f(x)=\frac{ex}{ex+a}について，次の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフは変曲点をただ1つもつ．この変曲点の座標をaを用いて表せ．
(2)(1)で求めた変曲点を通り，y軸に平行な直線をℓとする．y=f(x)のグラフとx軸，y軸および直線ℓで囲まれた図形の面積Sをaを用いて表せ．
(3)極限\lim_{a→∞}Sを求めよ．

　公立 兵庫県立大学 2013年 第1問

an=∫0n\frac{1}{x2+3x+2}dxとする．次の問いに答えよ．
(1)anをnの式で表せ．
(2)極限値\lim_{n→∞}anを求めよ．