「正三角形」について

　国立 弘前大学 2011年 第6問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})が次の条件を満たしているものとする．
A(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array})=(\begin{array}{c}
\sqrt{1/2}\\
\sqrt{3/2}
\end{array})A(\begin{array}{c}
-1\\
1
\end{array})=(\begin{array}{c}
-\sqrt{3/2}\\
\sqrt{1/2}
\end{array})
このとき，次の問いに答えよ．
(1)AおよびA2を求めよ．
(2)Oを座標平面上の原点と・・・

　国立 島根大学 2011年 第1問

平面上に一辺の長さが1の正三角形OABと，辺AB上の点Cがあり，　AC　＜　BC　とする．点Aを通り直線ABに直交する直線kと，直線OCとの交点をDとする．△OCAと△ACDの面積比が1:2であるとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOD=mベクトルOA+nベクトルOBとなるm,nを求めよ．
(2)点Dを通り，直線ODと直交する直線をℓとする．ℓと直線OA，OBとの交点をそれぞれE，Fとするとき，ベクトルEF=sベクトルOA+tベクトルOBとなるs,tを求めよ．

　国立 佐賀大学 2011年 第2問

△ABCの辺BCの中点をDとする．点B，Cから対辺またはその延長線上に垂線BE，CFを下ろす．△DEFが正三角形となるとき，∠Aの大きさを求めよ．

　国立 岐阜大学 2011年 第3問

平面上に点Oを中心とする半径1の円SとSに内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOBの値を求めよ．
(2)ベクトルOCをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
　AP　2+　BP　2+　CP　2≧3
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円Sの周上の任意の点Qに対して，
(ベクトルOA・ベクトルOQ)2+(ベクトルOB・ベクトルOQ)2+(ベクトルOC・\vect{OQ・・・

　国立 岐阜大学 2011年 第3問

平面上に点Oを中心とする半径1の円SとSに内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOBの値を求めよ．
(2)ベクトルOCをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
　AP　2+　BP　2+　CP　2≧3
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円Sの周上の任意の点Qに対して，
(ベクトルOA・ベクトルOQ)2+(ベクトルOB・ベクトルOQ)2+(ベクトルOC・\vect{OQ・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第4問

各辺の長さが1の正三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおき，線分ABを1:2に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数k,lについて，ベクトルOP=kベクトルOB,ベクトルOQ=lベクトルOCを満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，kとlの関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，△APQの重心が∠AOBの二等分線上にあるとする．このとき，kとlの関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，\text・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

各辺の長さが1の正三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおき，線分ABを1:2に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数k,lについて，ベクトルOP=kベクトルOB,ベクトルOQ=lベクトルOCを満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，kとlの関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，△APQの重心が∠AOBの二等分線上にあるとする．このとき，kとlの関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，\text・・・

　国立 宮崎大学 2011年 第2問

各辺の長さが1の正三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとおき，線分ABを1:2に内分する点をCとする．さらに，2点P，Qは，正の実数k,lについて，ベクトルOP=kベクトルOB,ベクトルOQ=lベクトルOCを満たすものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)3点A，P，Qが一直線上にあるとき，kとlの関係式を求めよ．
(2)3点A，P，Qが一直線上にないものとし，△APQの重心が∠AOBの二等分線上にあるとする．このとき，kとlの関係式を求めよ．
(3)(2)のもとで，\text・・・

　国立 旭川医科大学 2011年 第1問

△ABCはAB=ACの2等辺三角形とする．Dを辺BC上の点とし，ADの延長線が△ABCの外接円と交わる点をPとする．次の問いに答えよ．
(1)AP=BP+CPであるとき，△ABCは正三角形であることを示せ．
(2)1/BP+1/CP=1/DPであるとき，△ABCは正三角形であることを示せ．

　国立 旭川医科大学 2011年 第2問

平面上に正三角形でない鋭角三角形ABCが与えられている．辺BC，CA，ABの長さをそれぞれa,b,cとし，s=\frac{a+b+c}{2}とおく．さらに，辺BC，CA，ABをそれぞれs-c:s-b,s-a:s-c,s-b:s-aに内分する点をX，Y，Zとする．また，Oを原点とする．次の問いに答えよ．
(1)点NをベクトルON=\frac{(s-a)ベクトルOA+(s-b)ベクトルOB+(s-c)ベクトルOC}{s}と定義するとき，3直線AX，\ten{BY・・・