「正三角形」について

　私立 上智大学 2011年 第3問

正n角形の頂点から同時に3点を選び，それらを頂点とする三角形を作る．ただし，どの3点が選ばれるかは同様に確からしいとする．
(1)n=6のとき，三角形が直角三角形となる確率は\frac{[マ]}{[ミ]}である．
(2)n=8のとき，三角形が鈍角三角形となる確率は\frac{[ム]}{[メ]}である．
(3)nが偶数のとき，三角形が直角三角形となる確率は
\frac{[モ]}{n+[ヤ]}
であり，三角形が鈍角三角形となる確率は
\frac{[ユ]}{\kakko{・・・

　私立 学習院大学 2011年 第4問

コインを投げ，点Pを次の規則によって正三角形ABCの頂点A，B，C上を動かす．点PがAにあるときは，表が出たらBに動かし，裏が出たらCに動かす．Bにあるときは，表が出たらCに動かし，裏が出たらAに動かす．Cにあるときは，表が出たらAに動かし，裏が出たらBに動かす．
はじめに点PはAにあるとし，コインをn回投げた後にPがAにある確率をan，B・・・

　私立 北海道文教大学 2011年 第2問

次の[1]，[2]に当てはまるものを下の（ア）～（エ）のうちからそれぞれ一つ選びなさい．
(1)x2+x-2=0はx=-2であるための[1]である．
(2)△ABCが正三角形であることは，△ABCが二等辺三角形であることの[2]である．
（ア）必要条件であるが，十分条件でない．
（イ）十分条件であるが，必要条件でない．
（ウ）必要十分条件である．
（エ）どちらでもない．

　私立 大同大学 2011年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)t=log2xとおく．x＞8のときt＞[]である．log2(log4x/8)=log4(log8x/2)のとき，
log2\frac{t-[]}{[]}=log4\frac{t-[]}{[]}
であり，t=\frac{[]+[]\sqrt{[]}}{[]}である．
(2)1辺の長さが4の正三角形ABCの辺ABを3:1に内分する点をDとし，1/4ベクトルAB=\vec・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2010年 第4問

図に示す正六角形ABCDEFがある．点Pは最初頂点Aにあって，\\
サイコロを投げて，1または2の目が出たとき，点Pは右まわり\\
に一つ隣の頂点Bに移動する．一方，3,4,5,6のいずれかの目\\
が出たとき，点Pは左まわりに二つ隣の頂点Eに移動する．\\
サイコロを1度投げて点Pが移動するのを1試行とし，この試行\\
を指定された回数だけ繰り返す．以下の問いに答えよ．
\img{410107920102}{45}

(1)最初の試行後の点\ten{P・・・

　国立 福井大学 2010年 第1問

平面上に　OA　=　OB　=1である鋭角二等辺三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとし，k=ベクトルa・ベクトルbとおく．点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし，Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする．さらに，線分AMと線分BNの交点をPとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOM=sベクトルbとベクトルON=tベクトルaを満たす実数s,tをkを用いて表せ．
(2)ベクトルOPをベクトルa,ベクトルbおよびkを用いて表せ．
(3)Pが線分BNを4:・・・

　国立 福井大学 2010年 第2問

平面上に　OA　=　OB　=1である鋭角二等辺三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとし，k=ベクトルa・ベクトルbとおく．点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし，Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする．さらに，線分AMと線分BNの交点をPとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOM=sベクトルbとベクトルON=tベクトルaを満たす実数s,tをkを用いて表せ．
(2)ベクトルOPをベクトルa,ベクトルbおよびkを用いて表せ．
(3)Pが線分BNを4:・・・

　国立 愛知教育大学 2010年 第1問

一辺の長さが2sである正三角形ABCの3つの頂点をA(-s,0)，B(s,0)，C(0,√3s)とする．AP2+BP2+CP2=tであるような点Pについて，以下の問いに答えよ．
(1)このような点Pが存在するためのs,tについての必要十分条件と，この条件の下での点Pの軌跡の方程式を求めよ．
(2)点Pの軌跡が頂点Aを通る場合のsとtの関係式を求めよ．またこのときの点Pの軌跡を△ABCとともに図示せよ．
\end{e・・・

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第4問

右図のような三角形ABCを底面とする三角柱ABC-DEFを考える．
\img{177230720101}{10}

(1)AB=AC=5,BC=3,AD=10とする．三角形ABCと三角形\\
DEFとに交わらない平面Hと三角柱との交わりが正三角形となると\\
き，その正三角形の面積を求めよ．
(2)底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形\\
ABCと三角形DEFとに交わらない平面Hと三角柱との交わりが正\\
三角形となりうることを示・・・

　国立 山形大学 2010年 第2問

1辺の長さが2の正三角形ABCがある．辺ABの中点をP，線分PBの中点をQ，辺BCを2:1に内分する点をR，線分PRと線分CQの交点をSとする．さらに，ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルcとおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積ベクトルb・ベクトルcの値を求めよ．
(2)ベクトルARをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(3)ベクトルASをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(4)|ベクトルAS|の値を求めよ．
(5)三角形APSの面積を求めよ．