「正三角形」について

　国立 愛知教育大学 2014年 第4問

座標平面上に点A(0,0)，B(2,0)，C(1,√3)を頂点とする正三角形ABCをとる．また，点(-1,0)，(0,0)，(-1/2,\frac{√3}{2})を頂点とする正三角形をx軸の正の方向にtだけ平行移動して得られる正三角形PQRを考える．ただし，tは0以上の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)△ABCと△PQRの共通部分の面積をf(t)とするとき，関数y=f(t)のグラフの概形を描け．
\・・・

　国立 岐阜大学 2014年 第4問

次の問に答えよ．
(1)a,b＞0とする．このとき
\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}
であることを証明せよ．また，等号が成立するのはa=bの場合だけであることを示せ．
(2)a,b,c＞0とする．このとき
(a+b)(b+c)(c+a)≧8abc
であることを証明せよ．また，等号が成立するのはどのような場合か述べよ．
(3)α,β,γを三角形の3辺の長さとする．このとき
αβγ≧(-α+β+γ)(α-β+γ)(α+β-γ)
であることを証明せよ．・・・

　国立 大分大学 2014年 第2問

正三角形ABCがあり，点Xは正三角形ABCの頂点を移動する点である．サイコロを投げて5の目が出たとき点Xは時計回りに隣の頂点に移動し，6の目が出たとき点Xは反時計回りに隣の頂点に移動し，それ以外の目が出たとき点Xは移動しない．はじめに点Xは頂点Aにあるとし，サイコロをn回投げたとき点Xが頂点Aにある確率をPnとする．
(1)P1,P2,P3を求めなさい．
(2)P_{n+1}をPnを用いて表しなさい．
(3)Pnを求めなさ・・・

　国立 山形大学 2014年 第1問

-a＜x＜aで定義された曲線C:y=x\sqrt{a2-x2}がある．ただしaは正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)yの増減を調べ，曲線Cの概形をかけ．
(2)曲線Cと直線L:y=\frac{1}{√3}xが3つの共有点を持つような定数aの値の範囲を求めよ．またそのときの共有点のx座標をすべて求めよ．
(3)3つの共有点のうち，x座標の値が最も大きい点をPとする．点Pにおける曲線Cの接線と，直線Lおよびy軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数aの値を求め，その・・・

　国立 香川大学 2014年 第3問

一辺の長さがxの正三角形ABCを底面，点Oを頂点とし，OA=OB=OCである三角錐OABCに半径1の球が内接しているとする．ただし，球が三角錐に内接するとは，球が三角錐のすべての面に接することである．このとき，次の問に答えよ．
(1)三角錐OABCの体積をxを用いて表せ．
(2)この体積の最小値と，そのときのxの値を求めよ．

　国立 東京学芸大学 2014年 第2問

平面上に異なる3点A(ベクトルa)，B(ベクトルb)，C(ベクトルc)がある．線分AB，BCをm:nに内分する点をそれぞれP(ベクトルp)，Q(ベクトルq)とする．さらに線分PQをm:nに内分する点をR(ベクトルr)とする．t=\frac{m}{m+n}(0＜t＜1)とするとき，下の問いに答えよ．
(1)ベクトルrをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcおよびtを用いて表せ．
(2)1辺の長さが1の正三角形ABCの頂点A，・・・

　私立 東北医科薬科大学 2014年 第2問

一辺の長さが1である正三角形を右図のように一段ずつ積み重ねていき，k段積み重ねた図形をFkとおく．図形Fkに表れる一辺の長さがnである上向きの正三角形△の個数をFk(n)とおく（下向きの正三角形\bigtriangledownは考えない）．例えばF2(1)=3，F2(2)=1である．このとき，次の問に答えなさい．
（プレビューでは図は省略します）
(1)F3(1)=[ア]，F3(2)=[イ]，F3(3)=[ウ]である．
(2)図形Fkに表れる一辺の長さが1である上向きの正三角形の個数は
Fk(1)=\frac{\k・・・

　私立 学習院大学 2014年 第3問

平面上に3点A(0,a)，B(-t,t2-a)，C(t,t2-a)があり，条件
a＞0,0＜t≦√a,△ABC　は正三角形　
が成り立っているとする．
(1)aをtで表せ．
(2)0＜t≦√3であることを示せ．
(3)2つの放物線y=x2-a，y=-x2+aで囲まれた部分の面積をSとし，△ABCの面積をTとする．tが(2)の範囲を動くとき，S/Tの最小値を求めよ．

　私立 青山学院大学 2014年 第2問

平面上に，∠AOB=π/2，OA=2，OB=3であるような三角形OABがある．辺ABの中点をMとする．三角形ABPが正三角形になるように，直線ABに関して点Oの反対側に点Pをとる．このとき，
(1)ベクトルOM=\frac{[13]}{[14]}ベクトルOA+\frac{[15]}{[16]}ベクトルOBである．
(2)点Oから辺ABに垂線を下ろし，辺ABとの交点をHとすると，・・・

　私立 日本女子大学 2014年 第1問

1辺の長さが1の正三角形ABCに，図のように正方形S1，S2，S3，・・・を順に内接させるものとする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)正方形S1の1辺の長さを求めよ．
(2)n番目の正方形Snの面積snを求めよ．
(3)これらの正方形の面積の総和
s=s1+s2+・・・+sn+・・・
を求めよ．