「正三角形」について

　国立 佐賀大学 2013年 第5問

一辺の長さが2の正三角形OABにおいて，線分OAを1:3に内分する点をP，線分OBを3:1に内分する点をQとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとするとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルa,ベクトルbの内積ベクトルa・ベクトルbの値を求めよ．
(2)ベクトルPQをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(3)線分PQの長さを求めよ．
(4)線分OBの中点をCとし，線分ACと線分PQの交点をRとする・・・

　国立 奈良女子大学 2013年 第5問

一辺の長さが1の正六角形ABCDEFの頂点から異なる3点を選び，これらを頂点とする三角形を作る．次の問いに答えよ．
(1)作られる三角形が正三角形となる確率を求めよ．
(2)作られる三角形の面積の期待値を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第6問

座標平面上の3点A(a1,a2)，B(b1,b2)，C(c1,c2)について考える．
I=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array}),J=(\begin{array}{cc}
-1/2&-\frac{√3}{2}\
\frac{√3}{2}&-1/2
\end{array})
とおく．
(1)I+J+J2,J3を求めよ．
(2)(\begin{array}{c}
a1\
a2
\end{array})≠(\begin{array}{c}
0\・・・

　国立 琉球大学 2013年 第4問

mを正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1)xy平面上に2点O(0,0)，P(1,m)がある．このとき2点Q，Rの座標を，△OPQ，△OPRがともに正三角形となるように定めよ．ただし，点Qはxy平面上のy＞mxとなる領域に，点Rはxy平面上のy＜mxとなる領域に定めよ．
(2)(1)で定めた3点P，Q，Rについて，一次変換fは点Pを同じ点Pに，点Qを点Rに移すものとする．この・・・

　国立 群馬大学 2013年 第6問

下図のように，1から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列A1，A2，A3，・・・がある．正三角形An(n=1,2,3,・・・)の右下隅にある碁石の番号をanとし，An中のすべての碁石の番号の和をSnとする．
（例a1=3,a2=8,a3=16,S2=4+5+6+7+8+9=39）
（プレビューでは図は省略します）
(1)anの一般項を求めよ．
(2)Snの一般項を求めよ．
(3)\lim_{n→∞}\frac{1}{n5}Σ_{k=1}nk(Sk-3/2k)を，ある関数の定積・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第3問

平面上に，1辺の長さが1の正三角形ABCをとり，ベクトルa=ベクトルCA，ベクトルb=ベクトルCBとおく．また，直線AC，BC上にそれぞれ点P，QをベクトルCP=1/2ベクトルa，ベクトルCQ=2ベクトルbであるようにとる．線分PQの中点をRとし，直線AB上に点DをDR⊥PQであるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．
(1)ベクトルCRを，ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルDRを，・・・

　国立 愛媛大学 2013年 第4問

原点をOとする座標空間内に3点A，B，Cがあり，次の条件①,②,③,④を満たすとする．
①Aはxy平面上の点でOA=1
②B，Cはyz平面上の点で，y軸に関して対称である
③△OABは正三角形である
④A，B，Cはy軸上にない

(1)Bのy座標をtとす・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第1問

平面上に，1辺の長さが1の正三角形ABCをとり，ベクトルa=ベクトルCA，ベクトルb=ベクトルCBとおく．また，直線AC，BC上にそれぞれ点P，QをベクトルCP=1/2ベクトルa，ベクトルCQ=2ベクトルbであるようにとる．線分PQの中点をRとし，直線AB上に点DをDR⊥PQであるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．
(1)ベクトルCRを，ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルDRを，・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第2問

平面上に，1辺の長さが1の正三角形ABCをとり，ベクトルa=ベクトルCA，ベクトルb=ベクトルCBとおく．また，直線AC，BC上にそれぞれ点P，QをベクトルCP=1/2ベクトルa，ベクトルCQ=2ベクトルbであるようにとる．線分PQの中点をRとし，直線AB上に点DをDR⊥PQであるようにとる．このとき，次の各問に答えよ．
(1)ベクトルCRを，ベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(2)ベクトルDRを，・・・

　私立 自治医科大学 2013年 第23問

9つの辺の長さの総和が9である正三角柱（底面が正三角形である三角柱）の体積をVとする．各辺の長さが変化するとき，Vの最大値をMとする．\frac{12}{√3}Mの値を求めよ．