「正三角形」について

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第2問

ℓ1,ℓ2,ℓ3を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．ℓ1とℓ2及びℓ1とℓ3がOにおいてなす角はπ/3であるとし，ℓ2とℓ3がOにおいてなす角をθ(0＜θ≦\frac{2π}{3})とする．Oとは異なるℓ1,ℓ2,ℓ3上の3点P1，P2，P3を頂点とする正三角形が存在するようなcosθの範囲を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問

ℓ1,ℓ2,ℓ3を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．ℓ1とℓ2及びℓ1とℓ3がOにおいてなす角はπ/3であるとし，ℓ2とℓ3がOにおいてなす角をθ(0＜θ≦\frac{2π}{3})とする．x,yを正数とし，ℓ1,ℓ2,ℓ3上に点P1，P2，P3をそれぞれ，　OP　1=1,　OP　2=x,　OP　3=yとなるようにとる．△P1P2P3が正三角形となるx,yが存在するような・・・

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第2問

ℓ1,ℓ2,ℓ3を座標空間の点Oを始点とする3つの相異なる半直線とする．ℓ1とℓ2及びℓ1とℓ3がOにおいてなす角はπ/3であるとし，ℓ2とℓ3がOにおいてなす角をθ(0＜θ≦\frac{2π}{3})とする．Oとは異なるℓ1,ℓ2,ℓ3上の3点P1，P2，P3を頂点とする正三角形が存在するようなcosθの範囲を求めよ．

　国立 島根大学 2012年 第4問

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P0(1,0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)をy1＞0かつ△P0P1P2が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)P1の座標(x1,y1)とP2の座標(x2,y2)を求めよ．
(2)A(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})とA(\begin{array}{c}
x1\
y1
\end{array})=(\begin{array}{c}
x2\
y2
\end{array})を・・・

　国立 島根大学 2012年 第3問

原点を中心とする半径1の円上の異なる3点P0(1,0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)をy1＞0かつ△P0P1P2が正三角形になるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)P1の座標(x1,y1)とP2の座標(x2,y2)を求めよ．
(2)A(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})とA(\begin{array}{c}
x1\
y1
\end{array})=(\begin{array}{c}
x2\
y2
\end{array})を・・・

　国立 宇都宮大学 2012年 第3問

1辺の長さが1の正三角形ABCと，線分BCを1:2に内分する点Dが与えられている．実数x(0≦x≦1)に対し，線分AB上の点Pと線分AC上の点Qを　AP　=　CQ　=xとなるように定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)線分ADの長さを求めよ．
(2)三角形DPQの面積Sをxの式で表せ．
(3)(2)のSについて，Sの最大値と最小値を求めよ．
(4)(2)のSの値が\frac{√3}{8}となるとき，xの値を求めよ．

　国立 山形大学 2012年 第1問

k＞0とする．原点をOとする座標平面において，2点A,Bは曲線y=1/kx2上にあり，かつ△OABは正三角形とする．また，△OABの内接円をSとし，Cをその中心とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)中心Cの座標を求めよ．
(2)円Sの方程式を求めよ．
(3)Tを中心D(3k,-2k)，半径kの円とする．T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて，その接点をE,Fとする．線分CPの長さ・・・

　国立 山形大学 2012年 第1問

単位円の円周を6等分する点を時計回りの順にP1，P2，P3，P4，P5，P6とする．さいころを投げて出た目iと点Piを対応させる．さいころを3回投げて出た目が全て異なる場合は対応する点を結ぶと三角形ができる．次の問に答えよ．
(1)△P1P2P5と△P1P3P5の面積をそれぞれ求めよ．
(2)さいころを3回投げて，三角形ができる確率を求めよ．
(3)さいころを3回投げて，二等辺三角形・・・

　国立 山形大学 2012年 第4問

k＞0とする．原点をOとする座標平面において，2点A,Bは曲線y=1/kx2上にあり，かつ△OABは正三角形とする．また，△OABの内接円をSとし，Cをその中心とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)中心Cの座標を求めよ．
(2)円Sの方程式を求めよ．
(3)Tを中心D(3k,-2k)，半径kの円とする．T上の点Pから円Sへ2本の接線を引いて，その接点をE,Fとする．線分CPの長さ・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第4問

ABCDEを1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とし，4個の正三角形を側面とする正四角錐とする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)△CDEの重心をGとする．ベクトルベクトルAGをベクトルAB,ベクトルAD,ベクトルAEで表すと，ベクトルAG=[セ]となる．
(2)ベクトル0でないベクトルベクトルpが平面α上の任意のベクトルと垂直なとき，ベクトルpは平面αと垂直であるという．ベクトルp=aベクトルAB+bベクトルAD+cベクトルAE(a,b,c\text{・・・