「正三角形」について

　私立 明治大学 2012年 第1問

以下の[]にあてはまる値を答えよ．
(1)座標平面上の点P(x,y)が媒介変数θを用いて
\begin{array}{l}
x=-sinθ+2cosθ\
y=2sinθ+3cosθ
\end{array}
と表されているとする．このとき，原点をOとすると
OP2=[ア]√2sin([イ]θ+\frac{π}{[ウ]})+[エ]
が成り立つ．
(2)4つのサイコロを投げて，出た目の積をmとする．
(3)m=10となる確率は\displayst・・・

　私立 法政大学 2012年 第2問

nを2以上の整数とする．
(1)平面上の平行な2直線上に，相異なる点がそれぞれn個ずつある．これらの2n個の点から3点を選ぶ．
(i)n=5のとき，この選び方は全部で[アイウ]通りあり，選んだ3点が1直線上にあるような選び方は[エオ]通りある．
(ii)選んだ3点が三角形をつくるような選び方は([カ]-[キ])通りある．
ただし，[カ]，[キ]については，以下の①～\ma・・・

　私立 川崎医療福祉大学 2012年 第1問

次の問に答えなさい．
(1)式8x2-2x-15を因数分解すると，
(\mkakko{1}x-\mkakko{2})(\mkakko{3}x+\mkakko{4})
となる．
(2)xに関する2次方程式2x2-(2m-3)x-3m=0が重解を持つとき，m=\mkakko{5}である．
(3)\frac{√6}{\frac{1}{√2}+\frac{1}{√3}}=\mkakko{6}(\sqrt{\mkakko{7}}-\sqrt{\mkakko{8}})である．
(4)\frac{3√2-4√3}{√2}より大きい整数のうち，最小の・・・

　私立 立教大学 2012年 第3問

座標平面上に2点A(-1,3)，B(5,15)と直線ℓが与えられており，2点A，Bは直線ℓに関して対称な位置にある．直線ℓがy軸と交わる点をCとし，線分ABの中点をMとする．線分MA上に，点Mと異なる点Pをとる．このとき次の問(1)～(4)に答えよ．
(1)点Mの座標と直線ABの方程式を求めよ．
(2)直線ℓの方程式を求めよ．
(3)点Pのx座標をtとする．∠　PCM　=θとおくとき，cosθをtを用いて表せ．
(4)直線ℓに関して，点Pと対称な点をQとする．三角形PCQが正三角形とな・・・

　私立 龍谷大学 2012年 第2問

辺の長さが1の正三角形OABを考える．辺OAをt:(1-t)に内分する点をC，辺OBを(1-t):tに内分する点をDとする．
(1)ベクトルDCをベクトルOA，ベクトルOB，tで表しなさい．
(2)ベクトルOD・ベクトルDCの値が最大となるときのtの値を求めなさい．

　私立 中央大学 2012年 第3問

下の図のように硬貨を一辺nの正三角形の形に並べたとき，そこに並んだ硬貨の総数をn番目の三角数といい，tnで表す．このとき，以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)tnをnの式で表せ．
(2)300以下の自然数のうちに三角数はいくつあるか．
(3)tnが3の倍数であるのは，nが3の倍数であるか，n+1が3の倍数であるかのいずれかのとき，またそのときに限ることを示せ．
(4)300以下の自然数のうちに3の倍数である三角数はいくつあるか．
(5)300以下の自然数のうちに3の倍数・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第1問

以下の文章の空欄に適切な数，式または行列を入れて文章を完成させなさい．ただし(2)において，適切な行列が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．
(1)a1=1，a2=4，a_{n+2}=-a_{n+1}+2an(n=1,2,3,・・・)によって定められる数列{an}の一般項はan=[あ]である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})の表す1次変換により点B(1,1)と点C(1,0)はそれぞれ点B´と点C´に移されるとする・・・

　私立 金沢工業大学 2012年 第5問

四面体ABCDにおいて，底面の△BCDは1辺の長さが2の正三角形であり，∠BAC=∠CAD=∠DAB=90°である．辺BCの中点をMとする．
(1)DA=\sqrt{[ア]}である．
(2)ベクトルベクトルDA，ベクトルDB，ベクトルDC，ベクトルDMについて，ベクトルDA・ベクトルDB=ベクトルDA・ベクトルDC=[イ]であり，ベクトルDA・ベクトルDM=[ウ]である．
(3)cos∠ADM=\frac{\sqrt{\k・・・

　私立 関西大学 2012年 第3問

A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array})(b≠0)が表す1次変換をfとする．点P(c,0)(c＞0)を考える．次の問いに答えよ．
(1)次の[①]から[④]を数値でうめよ．
点Q(3,4)を，点R(1,2)を中心として反時計まわりにπ/3だけ回転した点の座標は
(\begin{array}{rr}
cosπ/3&-sinπ/3\\
sin\・・・

　私立 広島国際学院大学 2012年 第4問

下図のように，中心角60°の扇形OABと正三角形OCD，OABがあり，△OCDは扇形OABに外接し，扇形の半径はrとする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)△OABの面積S1を求めなさい．
(2)△OCDの面積S2を求めなさい．
(3)扇形OABの面積S3を求めなさい．ここで，円周率はπとして計算しなさい．
(4)S1＜S3＜S2よりπの範囲を求めなさい．