「正五角形」について

　私立 東北学院大学 2015年 第2問

一辺の長さが1の正五角形ABCDEがある．ベクトルa=ベクトルAB，ベクトルb=ベクトルAE，l=|ベクトルEC|とするとき，以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ABとECが平行であることに注意して，ベクトルACをベクトルa，ベクトルb，lを用いて表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルbをlを用いて表せ．
(3)lを求めよ．

　国立 東京海洋大学 2014年 第1問

1辺の長さが1である正五角形ABCDEにおいて，ベクトルAB=ベクトルa，ベクトルAE=ベクトルbとし，線分ACの長さをkとする．
(1)ベクトルACをベクトルa,ベクトルb,kを用いて表せ．ただし，線分ABと線分ECが平行であることを用いてよい．
(2)内積ベクトルa・ベクトルbをkを用いて表せ．
(3)kの値を求めよ．
(4)cos∠BAEの値を求めよ．

　公立 愛知県立大学 2014年 第2問

1辺の長さがa1の正五角形をP1とする．P1の対角線を1辺とする正五角形をP2とし，P2の対角線を1辺とする正五角形をP3とする．このように対角線から次の正五角形を繰り返してつくるものとする．このとき，n＞1におけるPnの1辺の長さをanとし，以下の問いに答えよ．
(1)数列{an}の一般項をa1とnを用いて表せ．
(2)整数の数列{xn}と{yn}を用いて
an=\frac{xn+√5yn}{2}
と書けるとする．このとき，x_{n+2}をxn・・・

　国立 高知大学 2012年 第3問

点Oを中心とする半径1の円に内接する正十角形の隣り合う頂点をA，Bとする．また，∠　OAB　の二等分線と直線OBの交点をCとする．次の問いに答えよ．
(1)△ABCと△OABは相似になることを示せ．
(2)辺ABの長さを求めよ．
(3)cos\frac{2π}{5}を求めよ．
(4)半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さを求めよ．

　私立 早稲田大学 2012年 第3問

0≦θ≦πはcos(2θ)=cos(3θ)を満たす．
次の問に答えよ．
(1)α-β=2θ,α+β=3θを満たすα,βをθを用いて表せ．
(2)θの値を求めよ．
(3)cosθの値を求めよ．
(4)1辺の長さが1の正五角形ABCDEの外接円の半径をRとする．R2の値を求めよ．

　私立 杏林大学 2012年 第2問

[タ]の解答は解答群の中から最も適当なものを1つ選べ．
一辺の長さが2である正五角形OABCDにおいて，ベクトルa=1/2ベクトルOA，ベクトルd=1/2ベクトルOD，k=|ベクトルDA|とする．
(1)ベクトルOB=ベクトルOD+ベクトルDBと|ベクトルDB|=kより，
ベクトルOB=kベクトルa+[ア]ベクトルd
が成り立つ．また，
ベクトルOC=[イ]ベクトルa+kベクトルd
と表せる．
(2)|ベクトルOB|=kより，
k=\kakko・・・

　国立 福井大学 2011年 第1問

1辺の長さが1の正十二面体を考える．点O，A，B，C，D，\\
E，F，Gを図に示す正十二面体の頂点とし，ベクトルOA=ベクトルa，\\
ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の問いに答えよ．\\
ただし，1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは\\
\frac{1+√5}{2}であることを用いてよい．なお，正十二面体では，\\
すべての面は合同な正五角形であり，各頂点は3つの正五\\
角形に共有されている．
\img{366254720111}{55}
(1)内積ベクトルa・ベクトルbを・・・

　国立 福井大学 2011年 第2問

1辺の長さが1の正十二面体を考える．点O，A，B，C，D，\\
E，Fを図に示す正十二面体の頂点とし，ベクトルOA=ベクトルa，\\
ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の問いに答えよ．\\
なお，正十二面体では，すべての面は合同な正五角形であり，\\
各頂点は3つの正五角形に共有されている．
\img{366254620111}{36}

(1)1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さを求めて，\\
内積ベクトルa・\ve・・・

　国立 鳥取大学 2010年 第4問

平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)ベクトルAB=ベクトルa,ベクトルBC=ベクトルbとするとき，ベクトルCDをベクトルaとベクトルbで表せ．

　国立 鳥取大学 2010年 第2問

平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)ベクトルAB=ベクトルa,ベクトルBC=ベクトルbとするとき，ベクトルCDをベクトルaとベクトルbで表せ．