「正四面体」について

　国立 京都大学 2015年 第4問

一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて，Pを辺ABの中点とし，点Qが辺AC上を動くとする．このとき，cos∠PDQの最大値を求めよ．

　国立 九州大学 2015年 第2問

1辺の長さが1である正四面体OABCを考える．辺OAの中点をP，辺OBを2:1に内分する点をQ，辺OCを1:3に内分する点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)線分PQの長さと線分PRの長さを求めよ．
(2)ベクトルPQとベクトルPRの内積ベクトルPQ・ベクトルPRを求めよ．
(3)三角形PQRの面積を求めよ．

　国立 高知大学 2015年 第3問

1辺の長さが1の正四面体をOABCとし，Aから平面OBCに下した垂線をAHとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルa・ベクトルc，ベクトルb・ベクトルcの値をそれぞれ求めよ．
(2)ベクトルAHをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcで表せ．
(3)ベクトルAHの大きさ|ベクトルAH|を求めよ．
(4)△OBCの面積を求めよ．
\m・・・

　国立 愛知教育大学 2015年 第7問

1辺の長さが4の正四面体OABCがある．点P，Q，Rをそれぞれ辺OA，OB，OC上の点とし，OP，OQ，ORの長さをそれぞれa,b,b（ただし，0＜a＜4，0＜b＜4）とする．
(1)cos∠QPRをa,bを用いて表せ．
(2)b=2とし，点Pは∠QPRの大きさを最大にする点とする．このとき，aの値を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，△PQRの面積を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

次の[]にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．
(1)2次方程式x2+kx+k+8=0が異なる2つの実数解α，βをもつとする．このとき，定数kの値の範囲はk＜[ア]またはk＞[イ]である．さらに，このときα2+β2=19となるような定数kの値はk=[ウ]である．
(2)xyz空間のA(1,0,0)，B(-1,0,0)，C(0,√3,0)を3頂点とする三角形を底面にもち，z≧0の部分にある正四面体ABCDを考える・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第2問

空間内に，一辺の長さ1の正四面体OABCがある．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとするとき，次の問に答えよ．
(1)辺ABの中点をDとし，また，辺OCをk:(1-k)に内分する点をEとする．ただし，0＜k＜1とする．このとき，ベクトルDEを，ベクトルa，ベクトルb，ベクトルcおよびkを用いて表せ．
(2)ベクトルDEの大きさ|ベクトルDE|をkを用いて表せ．
(3)内積ベクトルAB・ベクトルDEをkを用いて表せ．
(4)\tria・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)AB=3，BC=4，CD=5，DA=6をみたす四角形ABCDを考える．この四角形の面積をFとすると
F=[1][2]sinB+[3][4]sinD
が成り立つ．余弦定理を用いれば
F2=[5][6][7]-[8][9][10]cos(B+D)
を得る．B+D=πのとき，Fは最大値
6\sqrt{[11][12]}
をとる．
(2)辺の長さが2√3の正四面体Fがある．Fの内部に中心をもち，Fのどの辺とも高々1・・・

　私立 自治医科大学 2015年 第14問

1辺の長さが\sqrt{15}である正四面体OABCについて考える．辺OAを1:3に内分する点をM，辺BCを3:5に内分する点をNとする．|ベクトルMN|=mとしたとき，\frac{64m2}{185}の値を求めよ．

　国立 熊本大学 2014年 第1問

空間内の1辺の長さ1の正四面体OABCにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとし，OAの中点をPとする．以下の問いに答えよ．
(1)0＜t＜1に対し，BCをt:(1-t)に内分する点をQとする．また，PM+MQが最小となるOB上の点をMとし，PN+NQが最小となるOC上の点をNとする．このとき，ベクトルOMとベクトルONを，それぞれt，ベクトルb，ベクトルcを用いて表せ．
\m・・・

　国立 熊本大学 2014年 第1問

空間内の1辺の長さ1の正四面体OABCにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとする．また，点DをベクトルOD=ベクトルb-ベクトルaを満たす点，点EをベクトルOE=ベクトルc-ベクトルaを満たす点とし，点PをOAの中点とする．以下の問いに答えよ．
(1)0＜t＜1に対し，BDをt:(1-t)に内分する点をRとし，CEを(1-t):tに内分する点をSとする．また，OBとPRの交点をMとし・・・