「正四面体」について

　国立 熊本大学 2014年 第1問

空間内の1辺の長さ1の正四面体OABCにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとする．また，点DをベクトルOD=ベクトルb-ベクトルaを満たす点，点EをベクトルOE=ベクトルc-ベクトルaを満たす点とし，点PをOAの中点とする．以下の問いに答えよ．
(1)0＜t＜1に対し，BDをt:(1-t)に内分する点をRとし，CEを(1-t):tに内分する点をSとする．また，OBとPRの交点をMとし・・・

　国立 新潟大学 2014年 第2問

一辺の長さが1の正四面体OABCを考える．辺ABを2:1に内分する点をPとし，線分CPを3:1に内分する点をQとする．また，直線OC上の点RをベクトルQR⊥ベクトルOCとなるようにとる．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOQをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いて表せ．さらに，ベクトルOQの大きさ|ベクトルOQ|を求めよ．
(2)ベクトルORとベクトルRC・・・

　国立 新潟大学 2014年 第2問

一辺の長さが1の正四面体OABCを考える．辺ABを2:1に内分する点をPとし，線分CPを3:1に内分する点をQとする．また，直線OC上の点RをベクトルQR⊥ベクトルOCとなるようにとる．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOQをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いて表せ．
(2)ベクトルQRをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いて表せ．
(3)・・・

　国立 岩手大学 2014年 第2問

一辺の長さがaである正四面体の体積が\frac{2√2}{3}のとき，次の問いに答えよ．
(1)底面の面積をaで表せ．
(2)正四面体の高さをaで表せ．
(3)aの値を求めよ．

　国立 岩手大学 2014年 第2問

一辺の長さがaである正四面体の体積が\frac{2√2}{3}のとき，次の問いに答えよ．
(1)底面の面積をaで表せ．
(2)正四面体の高さをaで表せ．
(3)aの値を求めよ．

　国立 宮崎大学 2014年 第3問

下図の平行六面体において，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルc=ベクトルOC，ベクトルd=ベクトルODとし，△ACDと線分OFの交点をHとする．さらに，四面体OACDが1辺の長さ1の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)△ACDの重心が点Hに一致することを示し，2つの線分OHとHFの比OH:HFを求めよ．
(2)内積ベクトルHE・ベクトルHFの値を求めよ．
(3)△\ten{・・・

　国立 弘前大学 2014年 第2問

1辺の長さが1の正四面体ABCDに対し，辺ABの中点をE，辺ACの中点をF，辺BDをt:(1-t)の比に内分する点をG，辺CDをu:(1-u)の比に内分する点をHとする．ただし，0＜t＜1，0＜u＜1とする．次の問いに答えよ．
(1)4点E，F，G，Hが同一平面上にあるならば，t=uが成り立つことを示せ．
(2)t=uのとき，EF2+FH2+HG2+GE2の値の範囲を求めよ．

　国立 奈良女子大学 2014年 第4問

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，辺OAをx:(1-x)に内分する点をP，辺OBの中点をMとする．以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルCMをベクトルOBとベクトルOCを用いて表せ．
(2)直線CM上に，ベクトルCQ=yベクトルCMとなる点Qをとる．ベクトルPQとベクトルCMが垂直であるとき，yをxを用いて表せ．
(3)xが0＜x＜1の範囲を動くとき，三角形CMPの面積の最小値を求めよ．

　国立 岐阜大学 2014年 第1問

tは実数で0＜t＜2とする．図のように，1辺の長さが2の正四面体ABCDの辺AC上に点Pがあり，辺AD上に点Qがある．CP=AQ=tのとき，以下の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)線分BP，PQ，QBの長さを，それぞれtを用いて表せ．
(2)tが0＜t＜2の範囲を変化するとき，三角形BPQの3辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐ABPQの体積をtを用いて表せ．
(4)tが0＜t＜2の範囲を変化するとき，三角錐\te・・・

　国立 岐阜大学 2014年 第1問

tは実数で0＜t＜2とする．図のように，1辺の長さが2の正四面体ABCDの辺AC上に点Pがあり，辺AD上に点Qがある．CP=AQ=tのとき，以下の問に答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)線分BP，PQ，QBの長さを，それぞれtを用いて表せ．
(2)tが0＜t＜2の範囲を変化するとき，三角形BPQの3辺の長さの和の最小値を求めよ．
(3)三角錐ABPQの体積をtを用いて表せ．
(4)tが0＜t＜2の範囲を変化するとき，三角錐\te・・・